Alkulähteillä

Eipä tässä muuta edistymistä, mutta kävin eilen kopioimassa itselleni Paulien Erdös ja Turan 60-luvun artikkelisarjan neljännen osan ("On Some Problems of a Statistical Group-Theory IV"), joka tuntuu polkaisseen käyntiin tutkimani ryhmäteorian pienen sivuhaaran. Artikkeli käsittelee symmetrisiä ryhmiä. Minun tuskin tarvitsee paljoakaan kyseisestä artikkelista omaksua, paitsi tietysti mainita se (siihen viitataan melkein jokaisessa artikkelissa, joka aiheen tiimoilta on rustattu, ja jotka minun gradukansiooni ovat päätyneet). Muutamat siinä olevat symmetrisiä ryhmiä koskevat toteamukset ovat tietysti mainitsemisen arvoisia, mutta ne olivat minulle jo muualta tuttuja (tosin olin unohtanut koko asian - ehkä pitäisi jopa todistaa, että symmetrisissä ryhmissä saman syklirakenteen omaavat alkiot muodostavat keskenään konjugointiluokan, joten symmetrisen ryhmän S_n konjugointiluokkien lukumäärä on luvun n partitioiden määrä. "Partitiofunktion" tutkiminen kuuluu taas paremminkin edistyneeseen lukuteoriaan, ja vaikka aiheesta olenkin syventävän kurssin käynyt, niin tämän gradun aihepiirin ulkopuolella se kuitenkin on. Ehkä listaan partitiofunktion arvoja. Enemmän minua kiinnostaa, miten alternoivien ryhmien konjugointiluokkien lukumäärän saisi selville, niissä kun ei näyttäisi pätevän tuo partitio-juttu.

Sivujen alaslaskemus

Nyyh, vaihdoin gradudokumentin documentclassin bookista articleksi, joka sopinee paremmin tämän tasoiseen työhön, ja sivumäärä putosi noin kahteenkymmeneen. Toisaalta voin todeta, että melkeinpä joka tapauksessa on jo kolmasosa työstä valmis, ja kun perustuloksia aikansa kirjailee, niin saanee ihan kivasti kasaan.

Tosin sivujen lukumäärän pitäisi olla täysin yhdentekevä sivuseikka, sisältö ratkaisee. Olen kuitenkin vain ihminen, ja tunnen äärimmäistä alemmuutta lueskeltuani sen yhden graduryhmäläisen 70 sivun gradua täynnä tiukkaa asiaa, eikä siinä ole juurikaan jaarittelua, kun minä olen selitellyt umpia ja lampia asian tiimoilta.

Ääh & Blääh

Arh ja barf. Katselin tässä päivällä erästä tulosta, johon ei myöskään ole valmista todistusta ainakaan minun saatavillani. En ainakaan perinteisin menetelmin onnistunut saamaan mitään järkeviä tuloksia, mutta sen sijaan totesin, että karakteeriteoriaa käyttämällä tulokseen pääsisi helposti ainakin siinä tapauksessa, jos voisi vain olettaa tunnetuksi eräät karakteeriteorian tulokset.

Sen jälkeen käänsin silmäni erääseen ei-karakteeriteoriaan vaativaan tulokseen, joka on ollut minun todistettavien asioiden listalla jo kauan, mutta en ole jaksanut palata asiaan. Hankalaahan se nyt oli, pääsin vaivoin samaan pisteeseen, johon pääsin jo joskus kevät-kesällä. Sitten koittaa tenkkapoo, enkä tiedä miten edetä.

Nyt olen ruokatauolla ja mietin, että jos laitan taas tuon tuloksen odottamaan parempia aikoja, ja miettisin muita tuloksia. Niitä on alettava pikkuhiljaa vetämään hatusta, ja kun minä niitä vedän, niin selvää on että ne ovat aika yksinkertaisia tuloksia. Minimiarvosanat odottavat.

Captain's log, stardate 2610.06

Kävin tänään ohjaajan juttusilla kysäisemässä aiemmin mainituista ongelmista. Hän oli sitä mieltä, ettei sitä yksinkertaisia ryhmiä koskevaa tulosta voi johtaa ainakaan kovin helposti nojautumatta karakteeriteoriaan, joten riittää, että esitän tuloksen ja annan viitteen todistukseen. Asia ei ole suuri ongelma, koska en tule sitä nimenomaista tulosta, enkä yksinkertaisten ryhmien todennäköisyysrajaa, missään sen kummemmin käyttämään. Harmi kyllä.

Ei, edellinenkin merkintä jää monumentiksi siitä, etten vaan osaa. Kyllä se nyt on silviissiin, että jätän toistaiseksi yksinkertaiset ryhmät rauhaan, ja käyn läpi ne todistukset, jotka pystyn käymään. Torstaina voisin käydä graduohjaajan vastaanotolla, kysyä yhdestä oleellisesta asiasta (voinko käyttää suoraan tulosta, jonka todistusta ei ollut luentomonisteessa, mutta joka esitettiin luentomonisteessa ja jonka todistus käytiin luennoilla kyllä läpi). Samalla voisin mainita tästä ongelmasta. Tietysti saan halutessani esitettyä yksinkertaisia ryhmiä koskevan tuloksen, mutta tarvittavan aputuloksen todistus perustuisi sitten karakteeriteoriaan, joten minun ei mitenkään kannata esittää sitä. Mutta kun haluaisin välttää mokomaa teoriaa viimeiseen asti.

EVO-luutio

Unohtakaa edellinen merkintä. Säästän sen vain siksi, että se on jälleen yksi muistutus siitä, etten vaan osaa. Tosin tänään revisioin todistustani, ja sain sen menemään läpin siten, että jos luokkaluku on suurempi tai yhtäsuuri kuin kuusi, lauseen oletuksilla ryhmän G kertaluvun on oltava vähemmän kuin 183. Koska G on yksinkertainen ja ei-kommutatiivinen, niin se on isomorfinen joko alternoivan ryhmän A_5 kanssa (kertaluku 60) tai sitten projektiivisen erikoisen lineaarisen ryhmän (mikähän se nyt olikaan se oikea suomennos) PSL(2,7) (tai PSL(3,2)?) kanssa, ja tällöin tehtäväksi jää laskea molempien ryhmien luokkaluvut. Alternoivalle vitoselle tiedän, että se on 5, mutta en nyt juuri muista, mistä sen tiedän. Ehkä se pitäisi laskea erikseen, mutta se tietää työtä puhumattakaan tuosta jälkimmäisestä tapauksesta, ellei siihen löydy jotain taikakeinoa.

Taas edistysaskel?

Eilen löysin viitteen erääseen lehteen, jossa oli esitetty ja todistettu lyhyesti yksi tulos, josta seuraa se, että Pr(G) on pienempi tai yhtäsuuri kuin 1/12, jos G on äärellinen, yksinkertainen ei-kommutatiivinen ryhmä. Lause meni jotenkin näin, että "Olkoon g on ryhmän kertaluku, k luokkaluku. Jos k on pienempi tai yhtäsuuri kuin g/12, niin k=5". En suoraan sanoen muista tarkkaa muotoa, mutta jotain tämäntapaista se oli. Ehkä käyn vielä tänään tarkistamassa. Ainoa ongelma oli se, että todistus perustui karakteeriteoriaan. Kuitenkin taisin tänään luentotauolla saada todistetuksi saman väitteen elementaarisin keinoin käyttäen hyväksi sitä, että ÄeKY-ryhmässä aliryhmien (ja siis myös sentralisoijien) indeksi on vähintään viisi, eli siis jokainen alkio kuuluu vähintään viiden alkion konjugointiluokkaan. Lisäksi otetaan huomioon, että ÄeKY-ryhmän keskus on triviaali. Nyt saadaan luokkaluvulle arviot 1 + 1/5 (k - 1) > k > g / 12. Vertaillaan vasemman- ja oikeanpuolimmaisinta lausekkeita. Jos tällöin k = 6 tai suurempi, niin sain, että g < 24. Mutta tällaista ÄeKY-ryhmää ei ole olemassakaan, sillä A_5 on pienin ÄeKY-ryhmä, ja sen kertaluku on 60. Siispä k=5. (Voisiko k olla pienempikin? Kyllä kai, mutta sillä ei ole tavoitteen kannalta mitään merkitystä). Asia kyllä vaatii vielä tarkempaa tarkastelua, tämä tosiaan tuli kyhättyä 15 minuutissa tyhjästä ilman sen kummempia materiaaleja ja syventymisiä.

Yksi tulos taas todistettu

Viimeinkin! Minua koko vuoden härnännyt lause todistui viimein, ja ylpeänä voin sanoa että omin avuin. Olen tosin luullut niin ennenkin, mutta tällä kertaa näyttää erittäin lupaavalta. Todistui itseasiassa varsin helposti, ja nyt en ymmärrä, miksen aiemmin ole siinä onnistunut. Loppujen lopuksi kyse ei ollut muusta, kuin että jos p on pienin ryhmän G kertaluvun jakava alkulukutekijä, niin indeksi [G:Z(G)] on suurempi tai yhtäsuuri kuin p², ja lisäksi jokaisessa konjugointiluokassa on vähintään p alkiota. Arvioidaan luokkayhtälöä näillä tiedoilla, ja saadaan täsmälleen haluttu tulos.

Etsin tänään (lähinnä huvin vuoksi ja ajankuluksi, kait) aiheeseeni edes etäisesti liittyvää materiaalia, ja löysin sattumalta jonkun saksalaisen tekemän gradun [PDF, 198Kb] ("Diplomarbeit" - teoksen tasosta päätellen se ei ainakaan gradua laajempi ole). Siitä itseasiassa sainkin innoituksen palata juuri tänään tuossa yllä viitattuun tulokseen. Vakuutan kyllä, etten kopioinut sitä Diplomarbeitetista, näin vain yksinkertaisen arvion tuosta ryhmän keskuksen koosta, ja että todistus on lähinnä pyörittelyä. Minun todistus on elegantimpi, tuon gradun tekijä ei suoraan sanoen vaikuta huippuluokan akateemikolta. Ehkä se on vain tuo gradun kauhea ulkonäkö. Onkohan tuollainen tosiaan voinut mennä läpi? Yhdessä suhteessa se on kyllä parempi, kuin minun graduni; Se on valmis, heh. Paitsi jos kyseessä on keskeneräinen, nettiin laitettu julkaisu. Tuossa gradussa on lähdetty tutkimaan ryhmän 3-rewritabilityä (uudelleenkirjoitettavuutta?), ja siinä yleistetään tuo kommutaatiotodennäköisyysfunktio. En tiedä, viitsisinkö itse sitä tehdä. Sattumoisin löysin ja printtasin tänään yliopistolla käydessä sattumoisin sen artikkelin, jossa rewritabilitystä kerrottiin, että sinänsä voisin itsekin ottaa sen esille. Tuon gradun tekijälle ei kuitenkaan heru lisäpisteitä siitä, että osa kyseisen artikkelin sisällöstä on siirretty sinne. Leavittin, Shermanin ja Walkerin alkuperäinen artikkeli alkaa näin:

"What's the probability that two elements in a finite group commute? A formal answer,

Pr_{2}(G) = \frac{|{(x,y) \in G² | xy = yx}|}{|G|²},

begs our next question. How many ordered pairs of elements of a finite group commute?"

Diplomarbeit taasen alkaa näin:

"Wir fragen nach der Wahrscheinlichkeit Pr 2 (G), daß zwei beliebige Elemente in einer endlichen Gruppe G kommutieren. Die formale Antwort,

Pr_{2}(G) = .... (sama kuin yllä),

zieht die nächste Frage nach sich: Wie viele geordnete Paare von Elementen einer endlichen Gruppe kommutieren?"

Minun alunperinkin olemattomat saksantaitoni ovat kyllä puhkiruosteessa, mutta taidan ymmärtää ihan tarpeeksi. Olisi nyt edes yrittänyt. Seuraava esimerkkikin, symmetrisen ryhmän S_3 kommutaatiotaulu on täsmälleen sama, paitsi että diplomarbeitissa on käytetty kummallista merkintää.

No, minun on tietysti turha retostella erinomaisuudellani, ainakaan niin kauan kuin oma graduni on raakile. Mietin, että pitäisiköhän minunkin pyhittää yksi kappale rewriteabilitylle? Ainoa vaan, että tässäkin vedotaan kohtuullisen alussa erääseen karakteeriteorian tulokseen, jota minulla ei todennäköisesti ole mahdollisuutta lähteä todistelemaan. Toisaalta, voisin kysäistä ohjaajalta, että voisiko sen vain esittää ja jättää todistamatta, ja sitten käyttää sitä.

Completely Reducible

Eilen ei sanottavaa edistystä tapahtunut, lähinnä kirjoitin ylös juttua suorista tuloista uudestaan, ja todistin parit perustavaa laatua olevat tulokset. Luulin jo ratkaisseeni pari merkintää sitten mainitsemani yksinkertaisia ryhmiä koskevan ongelman. Nimittäin, suoria tuloja koskevassa osuudessa määriteltiin, mitä tarkoittaa kun (äärellinen) ryhmä on "completely reducible" (suomennos? täydellisesti supistuva?). Se tarkoittaa sitä, että ryhmä on esitettävissä äärellisten yksinkertaisten ryhmien suorana tulona. Huomautuksena mainittiin, että kaikki äärelliset yksinkertaiset ryhmät ovat completely reducible, ja tästä jotenkin päättelin, että koska A_5 on pienin ei-triviaali, ei-kommutatiivinen äärellinen yksinkertainen ryhmä, niin kertaluvultaan tätä suuremmille ei-kommutatiivisille äärellisille yksinkertaisille ryhmille G voidaan induktiolla osoittaa, että niille Pr(G) <= Pr(A_5), koska niillä on esitys itseään pienempien yksinkertaisten ryhmien suorana tulona. Sitten puolen tunnin päästä tajusin, että yksinkertaiset ryhmät ovat completely reducible, koska ne voidaan esittää itsensä triviaalina suorana tulona. Blaah. Arvoitus on siis edelleen ratkaisematta. Toivon mukaan se on edes ratkeava (hahhah, ryhmäteoreettinen vitsi).

Taas muiden graduista

Mitään progressiota ei edelliskerran jälkeen ole tapahtunut - onnistuin tarttumaan gradupapereihin ja -kirjoihin eilen vasta noin kello 22.30, ja lopetin puolta tuntia myöhemmin, ja 25 minuuttia meni yhden asian ihmettelyyn, joka ei vieläkään valjennut. Sen sijaan harrastin tänään taas vanhojen gradujen lukemista luentojen alkua odotellessani. Huomasin, että kaikenlaisilla sitä onkin läpi päästy; Yksi ryhmäteoriaa käsitellyt gradu kun oli tasoltaan melko alkeellinen, ja siinä tuhlattiin sivukaupalla sivuja perusasioiden toistoon (johon varmaan melkein kaikki gradut joutuvat enemmän tai vähemmän turvautumaan), ja sitten käsiteltiin symmetrisiä ja alternoivia ryhmiä varsin perustasolla, ja alternoivia ryhmiäkin käsitellyt osuus päättyi suurin piirtein siihen, että todistettiin A_5:n olevan yksinkertainen. Sen jälkeen käsiteltiin vielä vähän lineaarisia ryhmiä, ja se gradu huipentui projektiivisiin lineaarisiin ryhmiin PSL(n,m), ja niitäkään ei hirveästi yli ryhmäteorian kurssin sisällön käsitelty.

Olisinpa lopettanut siihen, sitten käsiini tarttui jokin toinen gradu, joka oli paljon pitempi, ja iski suoraan asiaan, ei mitään lällyjä ja pehmeitä johdatuksia aiheeseen kertaamalla (minun käymien) kurssien asiaa. Se ei kyllä käsitellyt ryhmäteoriaa. Ryhmäteoriasta ei hirveästi tunnu meillä graduja olevan, suurin osa käsittelee joko lukuteoriaa, tai varsinkin analyysiä.

Hiljaa huono tulee

G-Projekti on nyt edennyt ainakin sen verran, että lauantai-iltana istahdin nojatuoliini, ja kävin läpi muutamia nilpotentteihin ryhmiin ja suoriin tuloihin liittyviä tuloksia - tarkoitus on esittää tulos, että G on nilpotentti jos ja vain jos se voidaan Sylowin p-aliryhmien suorana tulona.

Sunnuntai-illasta kului valehtelematta ainakin 6 tuntia, aina puoli kahteen asti yöllä kun yritin todistaa, että ei-kommutatiivisille, äärellisille yksinkertaisille ryhmille Pr(G) < 1/12, mutta ei tullut mitään paitsi sivukaupalle korkeintaan paperiroskikseen kelpaavaa jätettä. Yritin ensin jotenkin alternoivan ryhmän A_5 kautta päästä tulokseen käsiksi - Pr(A_5) = 1/12, ja A_5 on kertaluvultaan (= 60) pienin ÄEkY-ryhmä (Äärellinen, ei-kommutatiivinen, yksinkertainen), seuraavaksi pienin on kertaluvultaan 168. Mutta ei auttanut. Sitten yritin järkeillä siten, että jos ÄeKY-ryhmän kertaluku kasvaa, niin sen konjugointiluokat voivat kasvaa korkeintaan puolella (itseasiassa 1/5:llä - mikäli oikein järkeilin, niin ÄEkY-ryhmien konjugointiluokkien kertalukujen täytyy olla vähintään 5) jokaista "lisättyä" alkiota kohtaan. Mutta tässähän ei ole mitään järkeä, ellei ota lähtökohdaksi jotain ryhmää, jossa olisi "optimaalisesti" järjestellyt konjugointluokat. Tästä minä en ainakaan kuitenkaan tiedä mitään, mikä takaisin sen.

Loppuillan yritin järkeillä jotain kertaluvun jakajien kanssa - Jos G on ÄEkY-ryhmä, niin sen kertaluku on jaollinen joko 8:lla tai 12:lla (tarkempikin tulos pätee: se on jaollinen joko 12:lla, 16:lla tai 56:lla, mutten tiedä riittävätkö rahkeeni, tai edes tarpeeni, sen todistamiseen), ja siis 4 jakaa joka ainoan ÄEkY-ryhmän kertaluvun. Tästäkään ei kuitenkaan oikein irronnut mitään, ja lopulta kello alkoi olemaan niin paljon, että oli mentävä nukkumaan.

Tänä aamuna tapasin graduohjaajan, kun yksi kevään graduryhmäläinen piti esitelmän jatko-opintoihin liittyvästä aiheesta. Hän oli saanut gradustaan E:n; Siitä saattaa ollakin jo ylpeä.