Tyhmät luennot pilaavat kaiken, kun kerrankin pääsee vauhtiin

Tänään taas tartuin härkää toisesta sarvesta. Typerät iltapäiväluennot pilasivat syventymiseni, sillä pääsin taas jonkin verran eteenpäin. MacHalen ryhmiä käsittelevästi artikkelista on aiemmin kaikki todistetut teoreemat käyty läpi, ja tänään laskettelin läpi sen alkupuolella esiteltyt perustulokset, jotka olivat jo toki viime syksyn luennoilta tuttuja. Sen lisäksi ehdin jo syventyä artikkelissa esitetyistä todistuksettomista tuloksista ensimmäiseen, ja onnistuin itse säveltämään puolet todistuksesta. MacHale väitti, että kommutatiivisuusfunktio (katso pari ensimmäistä merkintää tästä blogista) R(G) saa arvon 5/8 jos ja vain jos tekijäryhmä G / Z(G) kertaluku on tasan 4. Toiseen suuntaan asia oli helppo: Oletetaan, että | G / Z(G) | on suurempi tai yhtä suuri kuin 5. Tällöin saadaan R(G):lle yläraja (joka yleisesti on ei-kommutatiivisille ryhmille, ja itseasiassa myös renkaille, se 5/8), joka vain murto-osia pienempi kuin 5/8. Tällöin jos R(G) = 5/8, niin on oltava |G/Z(G)| = 4 (jos |G/Z(G)| = 1, niin G on Abelin ryhmä ja tällöin R(G) = 1, lisäksi ko. tekijäryhmän kertaluku ei voi olla missään tapauksessa alkuluku, eli kertaluvut 2 ja 3 voidaan myös pyyhkiä yli. Itseasiassa se ei voi olla viisikään, joten periaatteessa todistuksessani voisin ottaa alarajaksi kuuden, kuten alunperin otinkin, mutta siitä en parissa minuutissa onnistunut vakuuttamaan itseäni ilman laskinta, että saatu yläraja olisi ollut pienempi kuin 5/8). Toiseen suuntaan en väitettä saanut (vielä) todistettua, eli että jos R(G) = 5/8, niin on välttämättä oltava |G/Z(G)| = 4.

(Tuo Z(G) tarkoittaa ryhmän keskusta, eli se on niiden ryhmän G alkioiden joukko, jotka kommutoivat kaikkien G:n alkioiden kanssa).

Jotenkin vasta nyt tämän gradun kanssa leikkiessä on alkanut sisäistämään jotenkin tekijäryhmän käsitteen. Silloin, kun se algebra I -kurssilla keväällä 2003 opetettiin, niin se oli varmaankin kurssin ainoa asia, joka ei minulla painunut mieleen. Algebra II -kurssilla syksyllä 2004 se ei muistaakseni esiintynyt kovin usein, enkä silloinkaan oppinut sitä. Ryhmäteorian kurssilla syksyllä 2005 sitä tarvittiin usein, mutta en oikein tiedä tajusinko edes silloin, mitä se oikeasti tarkoittaa. Ryhmän sivuluokkien muodostama ryhmä. Ei sen pitäisi olla niin vaikeaa, mutta kun se on. Kaitpa se johtuu siitä, ettei se ole niin "konkreettinen" kuin jokin kiva ja helposti käsiteltävä joukko lukuja, joille on määritelty joku laskutoimitus.

Tämän kerran graduryhmästä ja vähän muustakin

Graduryhmä oli tänään. Minusta tuntui taas etukäteen, että olin tehnyt liian vähän töitä. En tiedä, oliko asianlaita niin, ei muillakaan ollut esittää muuta kuin halpoja sanoja vakuudeksi tehdystä työstä. Kuitenkin tässä pitäisi tehdä kovasti töitä, huhtikuussa kun pitäisi pitää esitelmäkin omasta aiheesta. Olin käynyt täksi kerraksi kyllä jo käytännössä sen minun pääartikkelissani esitetyt todistukset (sehän sisältää paljon myös todistamatonta materiaalia, johon pitäisi paneutua), joskin yksi käytetty aputulos oli jäänyt epäselväksi. Olen erittäin tyytyväinen ohjaajavalintaani, sillä kokoontumisen jälkeen menimme hänen toimistoonsa miettimään yhtä kohtaa. Se ei ollut kovinkaan hankala kohta loppujen lopuksi, mutta minua ilahdutti huomata, että edes professorismiehille ei kaikki asiat olekaan niin itsestäänselviä, vaan siinä meni joku 10-15 minuuttia mietiskellessä, ja lopulta saimme (hän sai) halutun tuloksen irti.

Hieman gradua sivuten iltapäivällä oli matemaattisten tieteiden laitoksen jatko-opintoiltapäivä. Sinne saapui henkilökunnan ja jatko-opiskelijoiden lisäksi viitisentoista (?) perustutkinto-opiskelijaa, paljon sellaisia joiden arvelinkin olevan kiinnostuneita jatko-opinnoista. Minä heidän mukanaan. Kaksi tuntia siellä kului, saimme kahvia ja leipiä. Olen entistä vakuuttuneempi, että haluan jatko-opiskelijaksi tekemään väitöskirjaa, ja mitä todennäköisimmin lisensiaatintyötä siinä sivussa. Yllätyin, kun sain tietää, että meillä jatko-opiskelijaksi pääsee kuka tahansa FM-tutkinnon suorittanut (minusta (vanhentunut) opinto-oppaani väittää toista), mutta että jos haluaa hoitaa rahoituksen vaikkapa ryhtymällä assistentiksi, niin pitää olla hyvää opintomenestystä takana. Oikeastaan tuo rahoituspuoli onkin ainoa, joka koko jutussa arvelluttaa, mutta periaatteessa senkään ei pitäisi olla ongelma (tai sen ei saa antaa olla ongelma). Oloni oli jotenkin tärkeä, kun tilaisuuden lopuksi esiteltiin lyhyesti laitoksen tutkimustyötä, ja vaikka ryhmäteoriasta ei kai mitään erityistä ryhmää olekaan olemassa, niin paikalla ollut graduryhmänohjaajamme mainitsi meidät (kaikki nimeltä). Olen tietysti turhamainen, ja pelkkä gradunväsääjä. Mutta ajattelin, kuinka hienoa olisi olla osana tutkimusryhmää, tutkimusyhteisöä. Ja kuinka hienoa olisi olla tutkija.

Epäuskoa

Kävin tänään ennen Aularavintolan palvelun alkamista Lunassa vaihteeksi selailemassa matemaattisten tieteiden Pro Graduja (ja lisensiaatintöitä). Hieman masensi: kuinka ikinä saan sävellettyä ~50 sivua tiukkaa asiaa! Jotenkin tuntuu, että minulla on liian helppo, tai suppea, aihe, vaikka en tietenkään tässä vaiheessa tiedä, paljonko sivuja tulee kulumaan (ja kuinka syvällisiä tuloksia loppujen lopuksi tarvitsen ja tulen esittämään). Katsoin erään meidän laitoksen jatko-opiskelijan gradua vuodelta 2000, se oli melkein 100 sivua pitkä. Eikä se vielä riitä: muiden gradut tuntuivat olevan täynnä uutta asiaa, kun minulla parhaimmillaankin melkoinen osa kuluu ryhmäteorian perusteiden luettelemiseen ja yksittäisten ryhmien käsittelyyn. Aika tosissani saisin paiskia yötäpäivää töitä, jotta saisin (minulle) kelvollisen gradun puserrettua ennen kuin lehdet seuraavan kerran putoavat kellastuneina puista.

Lehteä metsästämässä

Vauhdikkaan gradunaloituksen jälkeen on taas ollut hiljaista. Kovinkaan montaa tikkua en ole laittanut ristiin, kunnes tänään hyökkäsin tiedekirjasto Lunaan etsimään erään matemaattisen aikakausilehden numeroa vuodelta 1970, jossa oli konjugointiluokkia äärellisissä ryhmissä käsittelevä artikkeli, johon on viitattu mm. tuossa graduni ydinartikkelissa (MacHale) ja muutamassa muussakin. En tiedä, onko tuostakaan hyötyä, sillä suurin osa esitetystä asiasta perustuu character theoryyn (karakteeriteoria?), johon uskon, ettei minun ole tarkoituksenmukaista perehtyä tarkemmin - tai vaikka olisikin, niin mainitsen asiasta ensin ohjaajalle viikon päästä.

Lunan kopiokone ei muuten toiminut. Uhrasin siihen 50 senttiä, eikä se loppujen lopuksi edes antanut rahojani takaisin. Telluksessa oltiin kylläkin ymmärtäväisiä, ja sain kopioda sivut ilmaiseksi toimivalla kopiokoneella.

Mutta siinä kaikki. Rosen kirjaa olen lueskellut hieman, mutta en varsinaisesti syventynyt siihen. Vannon, että viikon päästä olen käynyt MacHalen artikkelin loppuun, ja voisinpa katsoa hieman, miten konjugointiluokat toimivat symmetrisissä ryhmissä.

Tulin muuten tänään eräiden luentojen päätteeksi kysäistyä luennoitsijalta erästä asiaa, joka johti siihen, että hän alkoi ehdottelemaan minulle, että tekisin graduni differentiaaliyhtälöistä ja analyysistä. Kerroin tekeväni jo gradua ryhmäteoriasta, mutta hän ei luovuttanut. Jos en tykkääkään ryhmäteoriasta, niin voin kuulemma ottaa häneen yhteyttä. Heh.