Tyhmät luennot pilaavat kaiken, kun kerrankin pääsee vauhtiin

Tänään taas tartuin härkää toisesta sarvesta. Typerät iltapäiväluennot pilasivat syventymiseni, sillä pääsin taas jonkin verran eteenpäin. MacHalen ryhmiä käsittelevästi artikkelista on aiemmin kaikki todistetut teoreemat käyty läpi, ja tänään laskettelin läpi sen alkupuolella esiteltyt perustulokset, jotka olivat jo toki viime syksyn luennoilta tuttuja. Sen lisäksi ehdin jo syventyä artikkelissa esitetyistä todistuksettomista tuloksista ensimmäiseen, ja onnistuin itse säveltämään puolet todistuksesta. MacHale väitti, että kommutatiivisuusfunktio (katso pari ensimmäistä merkintää tästä blogista) R(G) saa arvon 5/8 jos ja vain jos tekijäryhmä G / Z(G) kertaluku on tasan 4. Toiseen suuntaan asia oli helppo: Oletetaan, että | G / Z(G) | on suurempi tai yhtä suuri kuin 5. Tällöin saadaan R(G):lle yläraja (joka yleisesti on ei-kommutatiivisille ryhmille, ja itseasiassa myös renkaille, se 5/8), joka vain murto-osia pienempi kuin 5/8. Tällöin jos R(G) = 5/8, niin on oltava |G/Z(G)| = 4 (jos |G/Z(G)| = 1, niin G on Abelin ryhmä ja tällöin R(G) = 1, lisäksi ko. tekijäryhmän kertaluku ei voi olla missään tapauksessa alkuluku, eli kertaluvut 2 ja 3 voidaan myös pyyhkiä yli. Itseasiassa se ei voi olla viisikään, joten periaatteessa todistuksessani voisin ottaa alarajaksi kuuden, kuten alunperin otinkin, mutta siitä en parissa minuutissa onnistunut vakuuttamaan itseäni ilman laskinta, että saatu yläraja olisi ollut pienempi kuin 5/8). Toiseen suuntaan en väitettä saanut (vielä) todistettua, eli että jos R(G) = 5/8, niin on välttämättä oltava |G/Z(G)| = 4.

(Tuo Z(G) tarkoittaa ryhmän keskusta, eli se on niiden ryhmän G alkioiden joukko, jotka kommutoivat kaikkien G:n alkioiden kanssa).

Jotenkin vasta nyt tämän gradun kanssa leikkiessä on alkanut sisäistämään jotenkin tekijäryhmän käsitteen. Silloin, kun se algebra I -kurssilla keväällä 2003 opetettiin, niin se oli varmaankin kurssin ainoa asia, joka ei minulla painunut mieleen. Algebra II -kurssilla syksyllä 2004 se ei muistaakseni esiintynyt kovin usein, enkä silloinkaan oppinut sitä. Ryhmäteorian kurssilla syksyllä 2005 sitä tarvittiin usein, mutta en oikein tiedä tajusinko edes silloin, mitä se oikeasti tarkoittaa. Ryhmän sivuluokkien muodostama ryhmä. Ei sen pitäisi olla niin vaikeaa, mutta kun se on. Kaitpa se johtuu siitä, ettei se ole niin "konkreettinen" kuin jokin kiva ja helposti käsiteltävä joukko lukuja, joille on määritelty joku laskutoimitus.