Pientä edistystä ja aiheen esittelyä

Eilen laskiessani - yrittäessäni laskea - differentiaaliyhtälökurssin laskuharjoitustehtäviä hihani paloivat relativistisella nopeudella. Hetken hihojenjäähdyttelyn jälkeen päätin viimeinkin alkaa käymään MacHalen artikkelia läpi. Siinä olisi hurahtanut pitkä tovi, ellei TV:stä olisi tullut Salaisia Kansioita; Toisin sanoen artikkelin kanssa kävi juuri niin, kuin minulle kävi aikoinaan seminaarityöni kanssa: siihen oli mukava uppoutua. Hieman hälyttävänä sivuseikkana huomasin, että jouduin miettimään ryhmäteorian perustuloksienkin todistuksia (joita siinä artikkelissa esiteltiin muutama jutun kannalta oleellinen), vaikka minun pitäisi muistaa ja ymmärtää ne ulkomuistista. Loppujen lopuksi jäin jumiin jo ensimmäiseen todistukseen, jossa piti summalausekkeesta saada jotenkin oudosti konjugointiluokkien lukumäärä ulos, enkä millään tajunnut (tai tajua vieläkään), kuinka se onnistuu.

Ehkä selitän hieman tuota tutkimuskohdettani. Tällä hetkellä graduni päämotiivi on tutkia äärellisen, ei-kommutatiivisen ryhmän kommutaatiosuhdetta R(G) (tälle ei ollut annettu mitään nimeä artikkelissa, joten kommutaatiosuhde on itsekeksimäni termi), joka määritellään seuraavasti:

R(G) = (kommutaatioiden määrä G:ssä) / ( |G|² )

Tuo kommutaatioiden määrä G:ssä saadaan havainnollisesti siten, että kun laaditaan ensin ryhmälle ryhmätaulu (Cayley table), ja sitten laaditaan uusi taulu (kutsun sitä kommutaatiotauluksi, sekin on itsekeksimäni termi) siten, että merkitään 1:llä kommutaatiokohtia taulussa, ja muita kohtia 0:lla. Kommutaatiokohdat ovat tietysti niitä, joissa laskemalla ab ja ba, ja jos ne ovat samat, niin kyseessä on kommutaatio. Näin kommutaatiotauluun muodostuu päädiagonaalin suhteen symmetrinen kuvio. 1:sten lukumäärä on tuo haluttu kommutaatioiden määrä ko. ryhmässä.

Kommutaatiotaulusta nähdään myös suoraan jokaisen alkion sentralisoija (ja, itseasiassa, kommutaatioiden lukumäärä saadaan laskemalla myös jokaisen alkion sentralisoijan kertaluku, joka saadaan siis laskemalla ykkösten lukumäärä alkion riviltä), sekä ryhmän G keskus, joka tietysti koostuu niistä G:n alkioista, jotka kommutoivat kaikkien muiden alkioiden kanssa.

MacHalen artikkeliin oli laadittu yksinkertaisen esimerkin vuoksi symmetrisen ryhmän S_3 ryhmä- ja kommutaatiotaulu. Ajattelin, että omaan työhöni voisin laatia vastaavat taulut alternoivalle ryhmälle A_4 (S_4:ssä olisi jo 24 alkiota, voi olla että sitä on jo vaikea saada mahtumaan sivulle. A_4:n 12 alkiota varmaankin mahtuvat).

Eilen pääsin sitten MacHalen ensimmäiseen varsinaiseen lauseeseen asti, joka osoittaa, että kommutaatiosuhteen määrittäminen palautuu yksinkertaisesti konjugointiluokkien lukumäärän määrittämiseen, ts.

R(G) = k(G) / |G|, missä k(G) on G:n konjugointiluokkien määrä.

On minulla onneksi ensi tiistaihin asti aikaa vielä käydä asiaa läpi.