Yksi tulos taas todistettu

Viimeinkin! Minua koko vuoden härnännyt lause todistui viimein, ja ylpeänä voin sanoa että omin avuin. Olen tosin luullut niin ennenkin, mutta tällä kertaa näyttää erittäin lupaavalta. Todistui itseasiassa varsin helposti, ja nyt en ymmärrä, miksen aiemmin ole siinä onnistunut. Loppujen lopuksi kyse ei ollut muusta, kuin että jos p on pienin ryhmän G kertaluvun jakava alkulukutekijä, niin indeksi [G:Z(G)] on suurempi tai yhtäsuuri kuin p², ja lisäksi jokaisessa konjugointiluokassa on vähintään p alkiota. Arvioidaan luokkayhtälöä näillä tiedoilla, ja saadaan täsmälleen haluttu tulos.

Etsin tänään (lähinnä huvin vuoksi ja ajankuluksi, kait) aiheeseeni edes etäisesti liittyvää materiaalia, ja löysin sattumalta jonkun saksalaisen tekemän gradun [PDF, 198Kb] ("Diplomarbeit" - teoksen tasosta päätellen se ei ainakaan gradua laajempi ole). Siitä itseasiassa sainkin innoituksen palata juuri tänään tuossa yllä viitattuun tulokseen. Vakuutan kyllä, etten kopioinut sitä Diplomarbeitetista, näin vain yksinkertaisen arvion tuosta ryhmän keskuksen koosta, ja että todistus on lähinnä pyörittelyä. Minun todistus on elegantimpi, tuon gradun tekijä ei suoraan sanoen vaikuta huippuluokan akateemikolta. Ehkä se on vain tuo gradun kauhea ulkonäkö. Onkohan tuollainen tosiaan voinut mennä läpi? Yhdessä suhteessa se on kyllä parempi, kuin minun graduni; Se on valmis, heh. Paitsi jos kyseessä on keskeneräinen, nettiin laitettu julkaisu. Tuossa gradussa on lähdetty tutkimaan ryhmän 3-rewritabilityä (uudelleenkirjoitettavuutta?), ja siinä yleistetään tuo kommutaatiotodennäköisyysfunktio. En tiedä, viitsisinkö itse sitä tehdä. Sattumoisin löysin ja printtasin tänään yliopistolla käydessä sattumoisin sen artikkelin, jossa rewritabilitystä kerrottiin, että sinänsä voisin itsekin ottaa sen esille. Tuon gradun tekijälle ei kuitenkaan heru lisäpisteitä siitä, että osa kyseisen artikkelin sisällöstä on siirretty sinne. Leavittin, Shermanin ja Walkerin alkuperäinen artikkeli alkaa näin:

"What's the probability that two elements in a finite group commute? A formal answer,

Pr_{2}(G) = \frac{|{(x,y) \in G² | xy = yx}|}{|G|²},

begs our next question. How many ordered pairs of elements of a finite group commute?"

Diplomarbeit taasen alkaa näin:

"Wir fragen nach der Wahrscheinlichkeit Pr 2 (G), daß zwei beliebige Elemente in einer endlichen Gruppe G kommutieren. Die formale Antwort,

Pr_{2}(G) = .... (sama kuin yllä),

zieht die nächste Frage nach sich: Wie viele geordnete Paare von Elementen einer endlichen Gruppe kommutieren?"

Minun alunperinkin olemattomat saksantaitoni ovat kyllä puhkiruosteessa, mutta taidan ymmärtää ihan tarpeeksi. Olisi nyt edes yrittänyt. Seuraava esimerkkikin, symmetrisen ryhmän S_3 kommutaatiotaulu on täsmälleen sama, paitsi että diplomarbeitissa on käytetty kummallista merkintää.

No, minun on tietysti turha retostella erinomaisuudellani, ainakaan niin kauan kuin oma graduni on raakile. Mietin, että pitäisiköhän minunkin pyhittää yksi kappale rewriteabilitylle? Ainoa vaan, että tässäkin vedotaan kohtuullisen alussa erääseen karakteeriteorian tulokseen, jota minulla ei todennäköisesti ole mahdollisuutta lähteä todistelemaan. Toisaalta, voisin kysäistä ohjaajalta, että voisiko sen vain esittää ja jättää todistamatta, ja sitten käyttää sitä.