Esitelmä siintää horisontissa

Jotta ei kirjoittelutauko pääsisi taas venähtämään liian pitkäksi, niin todettakoon, että eteneminen on edelleenkin ollut verkkaista. Pääsiäisen aikana aloin kyllä jo suunnittelemaan ensi tiistain esitelmääni, jonka aion aloittaa esittelemällä dihedraalista tyyppiä ja kertalukua 8 olevan ryhmän ryhmätaulua, siis oleellisesti D_8:n ryhmätaulua. Meillä ei koskaan ole luennoilla puhuttu dihedraalisista ryhmistä, mutta algebra II:ssä oli kyllä puhetta neliön rotaatioista ja peilauksista permutaatioryhmien sovellutuksista puhuttaessa. Oleellisesti tässä on kyse juuri siitä. En ihan tosiaan viitsi ottaa suoraan artikkelista S_3:n ryhmätaulua. D_8 (tai D_4 joidenkin merkintätapojen mukaan) on joka tapauksessa kiinnostavampi, sillä R(D_8)= 5/8, eli juurikin se ei-kommutatiivisille ryhmille (ja renkaille ja kompakteille ryhmille) helposti johdettava R(G):n yläraja. En tiedä, tuleeko esitelmästäni tarpeeksi pitkä, mutta varmaan jos tarpeeksi hitaasti ja juurtajaksaen sepustan R(G)-funktiosta ja muutamista tuloksista, niin eiköhän siinä sellaiset 15-20 minuuttia ainakin mene.

Toinen etenemisaskel oli eilen, kun kerkesin ruhtinaalliset 15 minuuttia syventymään graduuni. Minua hämää todistuksetta jäänyt MacHalen artikkelissa esiintynyt väite:

"If G is non-commutative and p is the least prime number which divides |G|, then R(G) \leq (p^2 + p - 1)/p^3. Moreover, equality holds if and only if G/Z(G) has order p^2"

Olen jo aikaa sitten saanut todistettua, että jos G on p-ryhmä, eli |G| = p^n, missä n on suurempi tai yhtäsuuri kuin 3, niin väite on tosi. Tässä p-ryhmä muodossa väite esiintyi myös Gustafsonin artikkelissa. Eilen tein sitten pienen läpimurron, kun muistelin ryhmäteorian kurssilla käsiteltyjä Sylowin lauseita. Olen aiemmin todistanut, että jos H on G:n aliryhmä, niin R(G) \leq R(H). Sylowin lauseiden perusteella ryhmällä on aina vähintään yksi Sylowin p-aliryhmä, jos p on tekijänä G:n kertaluvussa. Tällöin jos

|G| = p^n * m, missä p ei jaa m:ää, ja n on vähintään 3, niin ylläoleva epäyhtälö pitää paikkansa. Nyt minua vain häiritsee tuo n:ää koskeva ehto - kuuluuko se implisiittisesti ei-kommutatiivisen ryhmän luonteeseen, vai pääsenkö siitä eroon jollain muulla tavalla.

Lisäys 22.19: Paitsi että tulin miettineeksi, että yllä esittämäni oivallus pätee vain ja ainoastaan silloin, kun kyseinen Sylowin p-aliryhmä ei ole kommutatiivinen. Takaako mikään sitä?

Ja edelleen, en ole pystynyt ratkaisemaan tuota "equality holds iff..."-kohtaa. Täytyy tosissaan harkita ohjaajan juttusilla pistäytymistä, jotenkin vain häpeän "luovuttamista", vaikka olenkin jo yhteen askarruttaneeseen ongelmaan saanut vinkkiä silloin joskus aiemmin, hyvällä menestyksellä vieläpä.