Taas edistysaskel?

Eilen löysin viitteen erääseen lehteen, jossa oli esitetty ja todistettu lyhyesti yksi tulos, josta seuraa se, että Pr(G) on pienempi tai yhtäsuuri kuin 1/12, jos G on äärellinen, yksinkertainen ei-kommutatiivinen ryhmä. Lause meni jotenkin näin, että "Olkoon g on ryhmän kertaluku, k luokkaluku. Jos k on pienempi tai yhtäsuuri kuin g/12, niin k=5". En suoraan sanoen muista tarkkaa muotoa, mutta jotain tämäntapaista se oli. Ehkä käyn vielä tänään tarkistamassa. Ainoa ongelma oli se, että todistus perustui karakteeriteoriaan. Kuitenkin taisin tänään luentotauolla saada todistetuksi saman väitteen elementaarisin keinoin käyttäen hyväksi sitä, että ÄeKY-ryhmässä aliryhmien (ja siis myös sentralisoijien) indeksi on vähintään viisi, eli siis jokainen alkio kuuluu vähintään viiden alkion konjugointiluokkaan. Lisäksi otetaan huomioon, että ÄeKY-ryhmän keskus on triviaali. Nyt saadaan luokkaluvulle arviot 1 + 1/5 (k - 1) > k > g / 12. Vertaillaan vasemman- ja oikeanpuolimmaisinta lausekkeita. Jos tällöin k = 6 tai suurempi, niin sain, että g < 24. Mutta tällaista ÄeKY-ryhmää ei ole olemassakaan, sillä A_5 on pienin ÄeKY-ryhmä, ja sen kertaluku on 60. Siispä k=5. (Voisiko k olla pienempikin? Kyllä kai, mutta sillä ei ole tavoitteen kannalta mitään merkitystä). Asia kyllä vaatii vielä tarkempaa tarkastelua, tämä tosiaan tuli kyhättyä 15 minuutissa tyhjästä ilman sen kummempia materiaaleja ja syventymisiä.