Nothing to report

Viime päivinä en ole juurikaan tehnyt mitään gradun eteen, paitsi lueskellut tuota Rosen kirjaa. Lisäksi sunnuntaiaamuna väänsin huvin vuoksi LaTeXilla jo tulevan dokumentin rungon, ja tuumailin hieman kappalejakoa. Ohjaaja ehdotti viimetapaamisessa, että voisin tutkia erikseen yleistä symmetristä ryhmää S_n, niiden konjugointiluokat kun ilmeisesti voi päätellä n:n perusteella. Symmetrisiä ryhmiä käsiteltiin eräällä kurssilla, josta sain nykyasteikoilla 4:n, mutta en muista enää tarkkaan niitä tuloksia. Pitää kuitenkin niitä palautella hieman mieliin.

Odotus palkitaan näillä näkymin

Hyvä Lord Boredom, 

     Tilaamasi tuote 

     Nimeke: COURSE ON GROUP THEORY
     Tekija: ROSE J S
     Tilauspvm: 31.1.2006
     Kpl: 1

     1 kpl  Toimitettu asiakkaalle 22.2.2006



Ystävällisin terveisin
AKATEEMINEN KIRJAKAUPPA, Verkkokauppa

Jo oli aikakin.

Muistutus itselle

14.3 kokoonnutaan seuraavan kerran.

Eli graduryhmä kokoontui tänään tunniksi (ehdin käydä ruokalassa syömässä, ja tulla sitten koneelle bloggaamaan). Pelkäsin, että olen ollut liian laiska muihin verrattuna - tämä kai graduryhmän tarkoitus onkin: luoda hieman paineita, että tulisi tehtyä edes jotain - mutta pelkoni osoittautui turhaksi. Kuten ohjaajakin minulle (ja meille kaikille) totesi, gradu on nytkähtänyt jo liikkeelle, ja se on tärkeää se. Nyt pitäisi tietysti saada pidettyä jonkinlaista tahtia yllä, mikä ei varmaankaan ole vaikeaa, jos muut opiskeluvelvollisuudet eivät liikaa häiritse touhujani. Onneksi yksi kurssi loppuu pian, toinen pääsiäisen tienoilla, joten niiden tiimoilta liikenee kohtuullisen pian lisää aika gradulle.

Joka tapauksessa ajattelin, että vaikka tutkinkin gradussani ryhmiä, niin voisin analogian vuoksi esittää muutamia vastaavia tuloksia myös renkaille. Ohjaaja piti tätä hyvänä ideana. Lisäksi voisin mainita ohimennen myös äärettömiä kompakteja ryhmiä koskevan tuloksen, eli sen, että kommutatiivisuus-funktiolla on se sama yläraja, 5/8, myös siinä tapauksessa.

Gradu edistynyt epsilonin verran

Paljoa edistystä ei ole nyt viime aikoina tapahtunut, tosin lauantaina todistelin parit lauseet hiipuvan miniflunssan kourissa. Tänään ajattelin myös loppuillan pyhittää lauseiden todistelulle, sillä huomenna on taas graduryhmän kokoontuminen, enkä ihan tyhjin käsin viitsi mennä. Vaikka eipä sillä, olenhan minä jotain tehnyt viimeisen kahden viikon aikana, mutta en saanut johdettua askeleitani sinne kirjastoon kysyäkseni siitä Keith S. Josephin väitöskirjan hankkimismahdollisuudesta.

Lähdemateriaalia haalimassa

Jätin tänään suhteellisuusteorian laskuharjoitukset väliin, ja käytin parituntisen yliopiston mikrohallissa, ja etsiskelin JSTOR:sta sopivia artikkeleita, joita voisin hyödyntää gradussani. Paljoa ei löytynyt; Erään Gustafsonin artikkeli, josta taisin saada mukavan konjugointiluokkien lukumäärää koskevalle tulokselle todistuksen, johon jäin jumiin MacHalen alkuperäisen artikkelin kanssa; Sitten löytyi MacHalelta alkuperäistä vastaava artikkeli äärellisille renkaille (renkaita en gradussani sen kummemmin tutki, mutta ajattelin, että vastaavia tuloksia äärellisille renkaille voisi heittää ohimennen esimerkkeinä, analogioina - esimerkiksi "kommutatiivisuusmitan" ylärajaksi osoittautuu se sama 5/8). Kolmannekseen löysin Keith S. Josephin - saman tyypin, jonka väitöskirjan haluaisin myös käsiini, ja josta en ole vieläkään kysynyt kirjastolta, josko minun olisi mahdollista saada käsiini - lyhyen artikkelin, jossa lueteltiin lyhyesti algebrallisten rakenteiden kommutatiivisuuteen liittyviä konjektuureja (joita minun taitaa olla turha yrittää todistaa tällä erää!), ja mikä tärkeämpää, siinä lueteltiin mukava läjä jo tunnettuja tosiseikkoja. Toisinsanoen siinä lueteltiin minun puolesta graduni mahdolliset päätulokset!

Ehkä noissa löytämissäni artikkeleissa on vielä se tärkeä puoli, että niissä viitataan muihin artikkeleihin joita JSTOR:sta ei löytynyt, mutta jotka minun ehkä kannattaisi etsiä.

Pientä edistystä ja aiheen esittelyä

Eilen laskiessani - yrittäessäni laskea - differentiaaliyhtälökurssin laskuharjoitustehtäviä hihani paloivat relativistisella nopeudella. Hetken hihojenjäähdyttelyn jälkeen päätin viimeinkin alkaa käymään MacHalen artikkelia läpi. Siinä olisi hurahtanut pitkä tovi, ellei TV:stä olisi tullut Salaisia Kansioita; Toisin sanoen artikkelin kanssa kävi juuri niin, kuin minulle kävi aikoinaan seminaarityöni kanssa: siihen oli mukava uppoutua. Hieman hälyttävänä sivuseikkana huomasin, että jouduin miettimään ryhmäteorian perustuloksienkin todistuksia (joita siinä artikkelissa esiteltiin muutama jutun kannalta oleellinen), vaikka minun pitäisi muistaa ja ymmärtää ne ulkomuistista. Loppujen lopuksi jäin jumiin jo ensimmäiseen todistukseen, jossa piti summalausekkeesta saada jotenkin oudosti konjugointiluokkien lukumäärä ulos, enkä millään tajunnut (tai tajua vieläkään), kuinka se onnistuu.

Ehkä selitän hieman tuota tutkimuskohdettani. Tällä hetkellä graduni päämotiivi on tutkia äärellisen, ei-kommutatiivisen ryhmän kommutaatiosuhdetta R(G) (tälle ei ollut annettu mitään nimeä artikkelissa, joten kommutaatiosuhde on itsekeksimäni termi), joka määritellään seuraavasti:

R(G) = (kommutaatioiden määrä G:ssä) / ( |G|² )

Tuo kommutaatioiden määrä G:ssä saadaan havainnollisesti siten, että kun laaditaan ensin ryhmälle ryhmätaulu (Cayley table), ja sitten laaditaan uusi taulu (kutsun sitä kommutaatiotauluksi, sekin on itsekeksimäni termi) siten, että merkitään 1:llä kommutaatiokohtia taulussa, ja muita kohtia 0:lla. Kommutaatiokohdat ovat tietysti niitä, joissa laskemalla ab ja ba, ja jos ne ovat samat, niin kyseessä on kommutaatio. Näin kommutaatiotauluun muodostuu päädiagonaalin suhteen symmetrinen kuvio. 1:sten lukumäärä on tuo haluttu kommutaatioiden määrä ko. ryhmässä.

Kommutaatiotaulusta nähdään myös suoraan jokaisen alkion sentralisoija (ja, itseasiassa, kommutaatioiden lukumäärä saadaan laskemalla myös jokaisen alkion sentralisoijan kertaluku, joka saadaan siis laskemalla ykkösten lukumäärä alkion riviltä), sekä ryhmän G keskus, joka tietysti koostuu niistä G:n alkioista, jotka kommutoivat kaikkien muiden alkioiden kanssa.

MacHalen artikkeliin oli laadittu yksinkertaisen esimerkin vuoksi symmetrisen ryhmän S_3 ryhmä- ja kommutaatiotaulu. Ajattelin, että omaan työhöni voisin laatia vastaavat taulut alternoivalle ryhmälle A_4 (S_4:ssä olisi jo 24 alkiota, voi olla että sitä on jo vaikea saada mahtumaan sivulle. A_4:n 12 alkiota varmaankin mahtuvat).

Eilen pääsin sitten MacHalen ensimmäiseen varsinaiseen lauseeseen asti, joka osoittaa, että kommutaatiosuhteen määrittäminen palautuu yksinkertaisesti konjugointiluokkien lukumäärän määrittämiseen, ts.

R(G) = k(G) / |G|, missä k(G) on G:n konjugointiluokkien määrä.

On minulla onneksi ensi tiistaihin asti aikaa vielä käydä asiaa läpi.

Toinen kokoontuminen

Tänään kokoonnuimme tosiaankin pienemmällä porukalla - meidät on siis jaettu kahteen ryhmään, ja yksi ryhmä kokoontuu aina joka toinen viikko ja toinen ryhmä niiden välissä joka toinen viikko - ja meille selitettiin hieman gradun rakenteesta. Pitää olla tiivistelmä, johdanto, perustulokset ja päätulokset, sekä lähdeluettelo. Jälkiviisaasti ajatellen sehän on selvää. Meille esiteltiin parin vuoden takaista ryhmäteoriaa ja sen sovelluksia (tässä tapauksessa salausmenetelmiä) käsittelevää gradua. Noin 50-sivuinen, ja olettaisin, että siitä oli lohjennut ihan hyvät arvosanat, kun sitä kerta meille näytettiin.

Sitten jokainen sai raportoida ryhmälle, mitä on saanut aikaan. Hieman laiskoina olimme ehkä olleet, ehkä, joillakin mittareilla mitattuna. Itse julistin, että MacHalen artikkeli oli kuin olikin kiinnostava, ja että teen graduni liittyen ei-kommutatiivisten ryhmien kommutatiivisuuteen. Näin ollen saan käsitellä tarkemmin ainakin konjugointiluokkia ja niiden määrää, ne kun ovat aika tärkeässä osassa kommutatiivisuutta tarkastellessa: MacHalen artikkelissa esiteltiin eräänlainen "kommutatiivisuusmitta", jolle todistetaan tulos, joka antaa sille ylärajan, joka riippuu suoraan konjugointiluokkien lukumäärästä. Samassa graduseminaarissa, tosin toisessa ryhmässä, eräs jamppa tekee gradunsa konjugointiluokkiin liittyen, ja Herra Ohjaaja ehdottikin, että voisimme jossain määrin tehdä yhteistyötä, kun kerta aiheemme ovat ainakin siltä osin päällekkäisiä. Lisäksi joudun leikkimään yksityisetsivää, ja käydä kysäisemässä kirjastossa, josko olisi mahdollista saada käsiin erästä MacHalen artikkelissa viitattua Kalifornian yliopistossa tehtyä väitöskirjaa. Jos se on mahdollista, niin se kuulemma maksaa, mutta siitä täytyy sitten neuvotella ohjaajan kanssa, ja on mahdollista laittaa lainauskulut laitoksen piikkiin. Toisekseen voisin käydä seuraavan parin viikon aikana MacHalen artikkelin läpi kynän ja paperin kanssa ja katsoa, jos Internetistä löytyisi asiaan keskeisesti liittyvää materiaalia.

Ohjaaja lupasi myös lähettää sähköpostia MacHalelle tiedustellakseen, josko aiheesta olisi mielenkiintoisia artikkeleja, joita voisin sitten hyväksikäyttää mitä häikäilemättömimmin. Ehdin jo hieman toivoa, että aiheen tienoilta olisi oikeita kirjojakin, mutta Ohjaajan mukaan aiheeni on aika eksoottinen, ettei välttämättä löydy suoraan mitään. Tietysti ryhmäteorian perusteoksista ja vähän syvemmälle menevistä löytyisi varmasti konjugointiluokkiin liittyvää asiaa, mutta näillä näkymin olen artikkelien ja arkaaisten väitöskirjojen armoilla.

Matka alkaa

(tarkennuspäivitys klo 12.17)

Niin kauan kuin olen blogeja kirjoitellut, olen odottanut sitä päivää, jolloin voisin blogata gradustani. Viime tiistaina alkoi graduseminaari, jossa minä olen yksi kuudesta osanottajasta. Koska en halua ikävystyttää "tavallisten" blogieni lukijoita, päätin pyhittää Gradulle, tuolle monien opiskelijoiden mielestä pelottavalle mörölle (joka jostain syystä jää usein keskoseksi), oman blogin. Tässä se nyt on.

Siis, viime tiistaina, 31. tammikuuta 2006, prosessi lähti käyntiin kello 10 matemaattisten tieteiden laitoksella eräässä luokkahuoneessa. Graduohjaajamme kävi läpi yleisiä graduntekoon liittyviä asioita, ja keskustelimme hieman esimerkiksi siitä omista aikatauluistamme. Itselläni on suunnitelmana saada gradu kevään aikana hyvään alkuun, jotta voin kesällä saada sen enemmän tai vähemmän valmiiksi. Näin kuulemma joku oli viime kerrallakin tehnyt; Keväällä alkuun, syyskuussa laitosneuvostolla. Minulla onneksi on pelivaraa, sillä olen vasta 4. vuoden opiskelija, eikä minulla ole ollenkaan riittäviä sivuaineopintoja kasassa. Toive olisikin koittaa 5. ja viimeisenä opintotuettuna vuotena kasata niitä, ja olisi hyvä, jos gradu olisi jo poissa päiväjärjestyksestä, ettei sen kanssa tule sitten paniikkia.

Samana tiistaisena iltapäivänä minulla oli neuvottelutuokio graduohjaajan toimistossa. Olin toinen osanottajista, jolla ei ollut vielä mitään ideaa aiheesta. Lopuksi ohjaaja antoi minulle monistetun artikkelin ja lainasi John S. Rosen kirjan 'A course on Group Theory', josta voisin katsoa myös ideoita aiheeseen, joka pitäisi ensi tiistaihin mennessä olla enemmän tai vähemmän selvä (itseasiassa tilasin itselleni Akateemisesta Kirjakaupasta uudemman painoksen 14 eurolla - oma henkilökohtainen tiedekirjastoni karttuu!). Myöhemmin samana päivänä koin valaistuksen tutkiskellessani hänen antamaansa artikkelia. Sen on kirjoittanut Desmond MacHale lehdessä The Mathematical Gazette, Vol. 58, number 405 (1974), ja artikkelin nimi on 'How commutative can a non-commutative group be?'. Silloin päätin, että graduni tulisi ainakin näin alustavasti käsittelemään ei-kommutatiivisten ryhmien kommutatiivisuutta, ja tuo artikkeli on erittäin hyvä lähtökohta sille. Ongelma on se, että paperissa esitellään tuloksia, joita ei ole todistettu, ja joiden todistukset käsittääkseni (ei, vaan luullakseni; minun tuurillani) löytyisivät lähdeluettelossa mainituista teoksista. Nämä teokset vain suurimmaksi osaksi väitöskirjoja, joita ei taida meidän yliopiston kirjastosta löytyä. Ainoa mahdollisesti löytyvä artikkeli on P.X. Gallagherin 'The Number of Conjugacy Classes in a Finite Group', joka olisi lehdessä, jonka lyhenne on Math. Z. Siitä voi tietysti lähteä liikkeelle. Gradun yksi tavoitehan onkin kai oppia etsimään tietoa. Toisekseen voisi katsoa, mitä kirjastollamme on tarjottavana ryhmäteorian saralta, ehkäpä tästäkin aiheesta on koottu kirjoihin jotain minun kannaltani hyödyllistä. Viimeisenä oljenkortena graduohjaajani sattuu tuntemaan MacHalen, ja lupasi lähettävänsä tälle sähköpostia, jos tartun aiheeseen.

No, ensi tiistaina asioita varmaan selkiytyy lisää. Siihen asti pitää koittaa olla muissa opinnoissa ahkera (varsinkin eräs ohjelmointityö pitäisi aloittaa ja mielellään tehdä kokonaan), jotta olisi mahdollisimman paljon aikaa aloitella tuskien taivalta, jolle lähden kyllä varsin innostunein mielin.