Lordin gradublogi

Lopun jälkeen

2007-07-13T22:32:00.000+03:00

Minun oli varmaankin tarkoitus kirjoittaa jonkinlainen loppumerkintä tälle blogille joskus, mutta se on jäänyt. Parempi myöhään kuin ei milloinkaan, vaikka jäljellä olevat kaksi lukijaa tuskin piittaavat.

Annoin kypsyysnäytteeni. Sen hyväksymisestä ei kai ollut lopultakaan mitään epäilystä. Se koski yleisesti Abelin ryhmiä, ja muistan kirjoittaneeni yleisen höpinän lisäksi graduni aiheesta mahdollisimman kansantajuisesti ja aiheen historiaa läpikäyden. Sitä seuraavalla viikolla täysin käydä antamassa ohjaajalleni kansitetun version gradusta. Kättelimme, kerroin olevani tyytyväinen eximiaan, joka oli ehtinyt ilmestyä opintorekisteriinkin.

Nyt olen päättänyt opintoni. Kesäkuun puolenvälin tienoilla paukahtivat viimeisetkin opintosuoritukset opintorekisteriin, ja syksyn tullen minun pitäisi hoitaa byrokraattiset asiat, ja kahmaista itselleni tutkintotodistus ja alkaa kutsumaan itseäni maisteriksi. Jatko-opiskelijaksi en näillä näkymin ala, vaan etsin töitä. Asiaan vaikutti se, ettei se minun omin aihepiirini ole Suomessa suosituinta, mikä merkitsee sitä, että rahoitusta tuskin järjestyisi. Ehkä niitä rivitohtoreita on muutenkin liikaa. En silti kiellä, etteikö ammattimatematiikon ura olisi edelleen se kiehtovin vaihtoehto. Tällä erää vain teeskentelen, että olisi mukava tehdä oikeitakin töitä. Käytännössä se tarkoittaa sitä, etten enää ikinä palaa koulun penkille korkeintaan kuin täydentääkseni opintojani esimerkiksi opettajan pätevyydellä. Olo muuttuu hieman haikeaksi, kun ajattelen tilannetta.

Jälkikäteen täytyy myöskin todeta, miten ylpeä olen gradustani. Selailen sitä edelleen silloin tällöin ja myhäilen itsekseni saavuttaneeni jotain. Intoani ei vähennä ollenkaan se, että sain jälkeenpäin kuulla muutamien lainanneen graduani kotiin luettavaksi (joskaan sitä ei vielä tätä kirjoittaessa löydy kirjastosta). Veikkaan sen olevan ansio, jollaisella kovinkaan moni ei voi ylpeillä. Huomaan edelleen selittävänikin graduni aiheesta innoissani; Työhaastatteluissa minulta on poikkeuksetta kysytty, mitä graduni käsittelee, kun sillä on sellainen nimi kuin sillä on.

Mutta näihin sanoihin, näihin tunnelmiin. Kiitän niitä paria kolmea lukijaa, joita tällä blogilla on koko sen olemassaolonsa aikana ollut.

Loppusuora III

2007-03-22T22:05:00.000+02:00

Huomenna on aamulla kypsyysnäyte. Alustavasti aiheeksi sovittiin Abelin ryhmät, mutta en sitten tiedä, mistä tarkkaanottaen joudun kirjoittamaan. Kuinkahan pitkä mokoman kirjoitelman täytyy edes olla? Kyllähän minä ainakin omasta mielestäni kirjoittaa osaan, mutta voi olla, että Abelin ryhmistä ei kovin paljoa sujuvaa suamenkieltä irtoa.

Kävin tänään yliopistopainossa jättämässä graduni kansitettavaksi. Kansitusvastaavaa ei löytynyt, mutta avuliaan miekkosen johdolla jätimme paperini sinne. Sieltä etsimäni nainen soittelikin sitten iltapäivällä. Olin valmistautunut siihen, että saisin odottaa graduani kauankin, mutta puhe oli jopa ensi viikosta. Saan tiedon sitten puhelimitse, kun saan käydä maksamassa itseni kipeäksi.

Lisäys vielä seuraavana aamuna: Valmistaudun kypsyysnäytteeseen lukemalla graduani. Hitto vieköön, kun tuolta edelleen löytyy painovirheitä. "... kaikillai=1, ... , n". Tekisi mieleni korjata, mutta myöhäistäpä se nyt on, eikä maksa enää vaivaa. Toivottavasti asiavirheitä ei löydy.

Toinen lisäys: Tosiaan, arvosanaksi paukahti se eximia. Oijoi, oijoi. Täytyy sanoa, että lopultakin ylitin kaikki itselleni asettamani tavoitteet, jossain vaiheessa olin täysin varma, että G:ni olisi keskivertoa huonompi.

Loppusuora II

2007-03-17T18:47:00.000+02:00

Gradu on ollut poissa käsistäni viime tiistaista lähtien. Ylihuomenna on se kohtalokas laitosneuvoston kokous - päivä, joka säilyy muistoissa kauan. Tulevalla viikolla kirjoittelen sitten myös kypsyysnäytteeni. Sen pitäisi olla lähinnä läpihuutojuttu, vaan silti hieman mietityttää sekin. Pitäisikö siihen valmistautua jotenkin? Vaikka etukäteen valittu aihe pitäisi kyllä olla erinomaisen tuttu runsaan vuoden kestäneen gradutyön jälkeen. Toisaalta, eipä kuulemma koskaan ole kellään jäänyt valmistuminen siitä kiinni, etteikö kypsyysnäytettä olisi osannut kirjoittaa.

Loppusuora

2007-03-12T12:40:00.000+02:00

Viime yön pikkutunneilla käänsin LaTeX-koodista PDF-tiedoston, ja siirsin sen yliopiston palvelimelle odottamaan aamua, jotta pääsisin mikroluokkaan tulostamaan sen. Kyllä, tässä vaiheessa voin sanoa, että gradu on valmis. Luin sitä vielä tämän aamun luennoilla, ja vaikka siellä olisi ehkä vielä vähän viilattavaa, päätin että tämä on tässä. Voisihan sitä viilailla halutessaan lopun elämää, mutta ei siitä enää sanottavammin hyötyä olisi. Kansilehti (jota voisi kyllä ihan oikeasti vielä parantaa huomiseksi) poislukien, tiivistelmäsivu mukaanlukien, siitä tuli 50 sivun mittainen. Tästä pois sisällysluettelo ja muutamat lähes tyhjät sivut (viimeinen sivu muodostuu tasan kolmesta viiteluettelon yhteensä 19 nimikkeestä). Tuolta tiivistelmäsivulta voisi vielä ottaa sivunumeron pois, joten ehkä sorrun vielä pieneen viilailuun tänään. Palautus on tätä kirjoitettaessa lähes tasan 24 tunnin päästä. Sen jälkeen minun ei kai oikeastaan tarvitse kuin kansittaa gradua muutama kappale paikallisessa kirjasitomossa. Paljonkohan sekin maksaa, en tiedä. Ja sitten pitäisi antaa se kypsyysnäyte. Ja jos saan kaikki kevään kurssit läpi, niin se on sitten kesään mennessä yli 160 opintoviikkoa kasassa ja, jos ei oteta huomioon byrokratian hitautta, sitä myöten maisteri. Ovatpas nämä jännittäviä aikoja.

Eilen gradua viimeistellessä löysin muuten yhden uuden artikkelin (tai taisi olla oikeastaan konferenssiesitelmä, en ole aivan varma), jonka yksi kirjoittaja oli D. MacHale, jonka vuoden 1974 paperista tämä minunkin graduni liikkeelle lähti, ja jossa taasen oli paljon viitteitä, joista olisi saattanut olla minulle hyötyä. Päätin kuitenkin, että on parempi etten ala metsästämään niitä ja viime hetkellä paisuttamaan graduani. Lisäsin viitteisiin ainoastaan tuon artikkelin/esitelmän viitatakseni siihen loppukaneetissa, jossa todettiin että tutkimus jatkuu yhä.

Lopun ajat

2007-02-20T14:42:00.000+02:00

Pari viikkoa sitten jätin gradun betaversion ohjaajalle. Alkuperäinen arvio oli "magna". Tänään kävin hakemassa sen ja kuuntelemassa palautteen. Ei ollut paljoa huomautettavaa, ja arvosana edelleen "kirkas magna", ja edelleen melkein voisi kuulemma ehdottaa jopa eximiaa. Ehkä minun on sitten vain myönnettävä, että olen aliarvioinut omaa graduani, ja minun on edelleenkin vaikea nähdä, miksi se on niin hyvä, kuin toinen väittää sen olevan. Omiin silmiin se vaikuttaa yksinkertaiselta ja tönköltä ja "liian helpolta". Toisaalta en ehkä itse voi suhtautua aiheeseen kovin objektiivisesti, varsinkin kun tottapa asia minulle on helppoa, kun sen kanssa on yli vuoden laiskot--- rehkinyt.

Aikataulu on tällä erää sellainen, että maaliskuun puolenvälin tienoilla käyn jättämässä valmiin version. Joku toinenkin professori kuulemma haluaa katsoa sitä aiheeni "tilastollisen luonteen" vuoksi (Erdös'n ja Turán' alkuperäinen paperi, josta kaikki lähti liikkelle, käsitteli nimenomaan tilastollista ryhmäteoriaa). Maanantaina 19.3 se olisi sitten laitosneuvoston edessä. Sitten se kai pitäisi painaa kansiin. Niin tai näin, rehkiminen alkaa olemaan ohitse. Korjattavaa ja lisättävää ei ole enää paljoa, ja jos oikein ottaisin nyt pienen spurtin, niin viikonlopuksikin saisi varmaan jokseenkin valmiin version. Kun nyt kuitenkin on aikaa, niin vaikka tekisin valmiin version tänä iltana, niin saan kyllä vajaan kuukauden kulumaan pikkunäpertelyyn, "jos sittenkin näin, eikun näin, tai sittenkin näin"-säätelyyn.

1v

2007-01-31T21:47:00.000+02:00

Paljon onneeeeaaaa vaan, paljon onneeeeeaaaaa vaan, paljon oooonnneeeeeaaaaa Graaaaduuuu, paljon onneeeeeaaaa vaaaan!

Gradu on kasvanut vuoden aikana 40-sivuiseksi. Huomenna on synttärivierailu ohjaaja-sedän luona.

Uusin deadline

2007-01-11T19:38:00.000+02:00

Muutama päivä sitten tuli graduohjaajalta sähköpostia. Kuten odotinkin. Joulukuu ja tammikuun ensimmäinen viikko menivät laiskotellessa, ja kyllä siihen sähköpostiin vastatessa tuli punasteltua häpeästä. Sain kuitenkin nyt itseeni ainakin vähän vauhtia, sillä sovin, että huhkin tässä kuussa "ahkerasti", ja sitten tammi-helmikuun vaihteessa, jolloin gradu täyttää vuoden, käyn näyttämässä kaiken tähän asti kasaansaamani tekstin.

Olkoonkin, etten voi sanoa vieläkään "huhkineeni", niin puoli tuntia sitten gradusta kasvoi 30 sivun mittainen. Ikäänkuin tärkeäkin rajapyykki olisi ylitetty. Ongelma on tietysti se, ettei ole oikein mitään materiaalia, jolla saisin reilusti sivuja lisää (ikäänkuin sivujen määrä olisi jokin itseisarvo), vaan kaikki tuleva tulee olemaan näpertelyä, täydentelyä ja kohtuullisen pieniä lisäyksiä. Veikkaan, että viitisen sivua saan kohtuuhelposti lisää materiaalia, mutta 40 sivun mittaiseksi tekeleeksi paisuttaminen vaatinee jo jotain, mitä en osaa tässäkään vaiheessa vielä kuvitella. Tosin oli puhe, että sitten kun vien sen, niin katsotaan samalla mitä sille voisi vielä tehdä. Tässä vaiheessa joka tapauksessa tuntuu, että olisin tyytyväinen, jos vain saisin koko projektin pois harteiltani ja valmiiksi.

2006-11-14T21:49:00.000+02:00

Tämän illan saldona oli parin lemman todistus rewritabilityyn liittyen - tosin toinen lemma liittyy ihan suoraan alkuperäisen aiheeni ytimeen - ja kolmannen lemman todistuksen alkua. Vähän yli sivun verran ruutupaperille, se tarkoittanee paria-kolmea sivua gradusivuiksi muutettuna, kun ottaa huomioon kaikki ylimääräiset rautalankaväännöt ja ja mahdolliset lisätulokset, joita tarvitaan. Edistystä siis, kas kummaa.

Aitojen madaltuminen

2006-11-14T11:39:00.000+02:00

Se on varmaan taas se aika kuukaudesta, kun olen varma, ettei minusta tule kunnon matemaatikkoa, ja voin siis mennä gradunkin kanssa siitä, mistä aita on kohtuullisen matala. Keskityn seuraavaksi hieman symmetrisiin ryhmiin, ja ensin käyn etsimässä kirjastosta kirjan, jossa luetellaan partitiofunktion (?) arvoja, joilla voin luetella symmetristen ryhmien kommutaatiotodennäköisyyksiä. Sitten lasken ihan rautalangasta vääntäen alternoivan A_5:n konjugointiluokat. Sitten otan sen rewritability-artikkelin käsiini, ja sen avulla todistelen, että jos Pr(G) = 1/2, niin G/Z(G) on isomorfinen symmetrisen ryhmän S_3 kanssa (muistaakseni tulos oli tuollainen, en ole ihan varma). Pamfletin pamfletti, gradu vaan äkkiä valmiiksi, ja sitten haalimaan loppuja opintoviikkoja ja sitten valmistuminen.

Alkulähteillä

2006-10-31T17:11:00.000+02:00

Eipä tässä muuta edistymistä, mutta kävin eilen kopioimassa itselleni Paulien Erdös ja Turan 60-luvun artikkelisarjan neljännen osan ("On Some Problems of a Statistical Group-Theory IV"), joka tuntuu polkaisseen käyntiin tutkimani ryhmäteorian pienen sivuhaaran. Artikkeli käsittelee symmetrisiä ryhmiä. Minun tuskin tarvitsee paljoakaan kyseisestä artikkelista omaksua, paitsi tietysti mainita se (siihen viitataan melkein jokaisessa artikkelissa, joka aiheen tiimoilta on rustattu, ja jotka minun gradukansiooni ovat päätyneet). Muutamat siinä olevat symmetrisiä ryhmiä koskevat toteamukset ovat tietysti mainitsemisen arvoisia, mutta ne olivat minulle jo muualta tuttuja (tosin olin unohtanut koko asian - ehkä pitäisi jopa todistaa, että symmetrisissä ryhmissä saman syklirakenteen omaavat alkiot muodostavat keskenään konjugointiluokan, joten symmetrisen ryhmän S_n konjugointiluokkien lukumäärä on luvun n partitioiden määrä. "Partitiofunktion" tutkiminen kuuluu taas paremminkin edistyneeseen lukuteoriaan, ja vaikka aiheesta olenkin syventävän kurssin käynyt, niin tämän gradun aihepiirin ulkopuolella se kuitenkin on. Ehkä listaan partitiofunktion arvoja. Enemmän minua kiinnostaa, miten alternoivien ryhmien konjugointiluokkien lukumäärän saisi selville, niissä kun ei näyttäisi pätevän tuo partitio-juttu.

Sivujen alaslaskemus

2006-10-29T21:11:00.000+02:00

Nyyh, vaihdoin gradudokumentin documentclassin bookista articleksi, joka sopinee paremmin tämän tasoiseen työhön, ja sivumäärä putosi noin kahteenkymmeneen. Toisaalta voin todeta, että melkeinpä joka tapauksessa on jo kolmasosa työstä valmis, ja kun perustuloksia aikansa kirjailee, niin saanee ihan kivasti kasaan.

Tosin sivujen lukumäärän pitäisi olla täysin yhdentekevä sivuseikka, sisältö ratkaisee. Olen kuitenkin vain ihminen, ja tunnen äärimmäistä alemmuutta lueskeltuani sen yhden graduryhmäläisen 70 sivun gradua täynnä tiukkaa asiaa, eikä siinä ole juurikaan jaarittelua, kun minä olen selitellyt umpia ja lampia asian tiimoilta.

Ääh & Blääh

2006-10-28T17:27:00.000+03:00

Arh ja barf. Katselin tässä päivällä erästä tulosta, johon ei myöskään ole valmista todistusta ainakaan minun saatavillani. En ainakaan perinteisin menetelmin onnistunut saamaan mitään järkeviä tuloksia, mutta sen sijaan totesin, että karakteeriteoriaa käyttämällä tulokseen pääsisi helposti ainakin siinä tapauksessa, jos voisi vain olettaa tunnetuksi eräät karakteeriteorian tulokset.

Sen jälkeen käänsin silmäni erääseen ei-karakteeriteoriaan vaativaan tulokseen, joka on ollut minun todistettavien asioiden listalla jo kauan, mutta en ole jaksanut palata asiaan. Hankalaahan se nyt oli, pääsin vaivoin samaan pisteeseen, johon pääsin jo joskus kevät-kesällä. Sitten koittaa tenkkapoo, enkä tiedä miten edetä.

Nyt olen ruokatauolla ja mietin, että jos laitan taas tuon tuloksen odottamaan parempia aikoja, ja miettisin muita tuloksia. Niitä on alettava pikkuhiljaa vetämään hatusta, ja kun minä niitä vedän, niin selvää on että ne ovat aika yksinkertaisia tuloksia. Minimiarvosanat odottavat.

Captain's log, stardate 2610.06

2006-10-26T17:25:00.000+03:00

Kävin tänään ohjaajan juttusilla kysäisemässä aiemmin mainituista ongelmista. Hän oli sitä mieltä, ettei sitä yksinkertaisia ryhmiä koskevaa tulosta voi johtaa ainakaan kovin helposti nojautumatta karakteeriteoriaan, joten riittää, että esitän tuloksen ja annan viitteen todistukseen. Asia ei ole suuri ongelma, koska en tule sitä nimenomaista tulosta, enkä yksinkertaisten ryhmien todennäköisyysrajaa, missään sen kummemmin käyttämään. Harmi kyllä.

2006-10-24T21:39:00.000+03:00

Ei, edellinenkin merkintä jää monumentiksi siitä, etten vaan osaa. Kyllä se nyt on silviissiin, että jätän toistaiseksi yksinkertaiset ryhmät rauhaan, ja käyn läpi ne todistukset, jotka pystyn käymään. Torstaina voisin käydä graduohjaajan vastaanotolla, kysyä yhdestä oleellisesta asiasta (voinko käyttää suoraan tulosta, jonka todistusta ei ollut luentomonisteessa, mutta joka esitettiin luentomonisteessa ja jonka todistus käytiin luennoilla kyllä läpi). Samalla voisin mainita tästä ongelmasta. Tietysti saan halutessani esitettyä yksinkertaisia ryhmiä koskevan tuloksen, mutta tarvittavan aputuloksen todistus perustuisi sitten karakteeriteoriaan, joten minun ei mitenkään kannata esittää sitä. Mutta kun haluaisin välttää mokomaa teoriaa viimeiseen asti.

EVO-luutio

2006-10-23T15:46:00.000+03:00

Unohtakaa edellinen merkintä. Säästän sen vain siksi, että se on jälleen yksi muistutus siitä, etten vaan osaa. Tosin tänään revisioin todistustani, ja sain sen menemään läpin siten, että jos luokkaluku on suurempi tai yhtäsuuri kuin kuusi, lauseen oletuksilla ryhmän G kertaluvun on oltava vähemmän kuin 183. Koska G on yksinkertainen ja ei-kommutatiivinen, niin se on isomorfinen joko alternoivan ryhmän A_5 kanssa (kertaluku 60) tai sitten projektiivisen erikoisen lineaarisen ryhmän (mikähän se nyt olikaan se oikea suomennos) PSL(2,7) (tai PSL(3,2)?) kanssa, ja tällöin tehtäväksi jää laskea molempien ryhmien luokkaluvut. Alternoivalle vitoselle tiedän, että se on 5, mutta en nyt juuri muista, mistä sen tiedän. Ehkä se pitäisi laskea erikseen, mutta se tietää työtä puhumattakaan tuosta jälkimmäisestä tapauksesta, ellei siihen löydy jotain taikakeinoa.

Taas edistysaskel?

2006-10-18T15:48:00.000+03:00

Eilen löysin viitteen erääseen lehteen, jossa oli esitetty ja todistettu lyhyesti yksi tulos, josta seuraa se, että Pr(G) on pienempi tai yhtäsuuri kuin 1/12, jos G on äärellinen, yksinkertainen ei-kommutatiivinen ryhmä. Lause meni jotenkin näin, että "Olkoon g on ryhmän kertaluku, k luokkaluku. Jos k on pienempi tai yhtäsuuri kuin g/12, niin k=5". En suoraan sanoen muista tarkkaa muotoa, mutta jotain tämäntapaista se oli. Ehkä käyn vielä tänään tarkistamassa. Ainoa ongelma oli se, että todistus perustui karakteeriteoriaan. Kuitenkin taisin tänään luentotauolla saada todistetuksi saman väitteen elementaarisin keinoin käyttäen hyväksi sitä, että ÄeKY-ryhmässä aliryhmien (ja siis myös sentralisoijien) indeksi on vähintään viisi, eli siis jokainen alkio kuuluu vähintään viiden alkion konjugointiluokkaan. Lisäksi otetaan huomioon, että ÄeKY-ryhmän keskus on triviaali. Nyt saadaan luokkaluvulle arviot 1 + 1/5 (k - 1) > k > g / 12. Vertaillaan vasemman- ja oikeanpuolimmaisinta lausekkeita. Jos tällöin k = 6 tai suurempi, niin sain, että g < 24. Mutta tällaista ÄeKY-ryhmää ei ole olemassakaan, sillä A_5 on pienin ÄeKY-ryhmä, ja sen kertaluku on 60. Siispä k=5. (Voisiko k olla pienempikin? Kyllä kai, mutta sillä ei ole tavoitteen kannalta mitään merkitystä). Asia kyllä vaatii vielä tarkempaa tarkastelua, tämä tosiaan tuli kyhättyä 15 minuutissa tyhjästä ilman sen kummempia materiaaleja ja syventymisiä.

Yksi tulos taas todistettu

2006-10-14T19:00:00.000+03:00

Viimeinkin! Minua koko vuoden härnännyt lause todistui viimein, ja ylpeänä voin sanoa että omin avuin. Olen tosin luullut niin ennenkin, mutta tällä kertaa näyttää erittäin lupaavalta. Todistui itseasiassa varsin helposti, ja nyt en ymmärrä, miksen aiemmin ole siinä onnistunut. Loppujen lopuksi kyse ei ollut muusta, kuin että jos p on pienin ryhmän G kertaluvun jakava alkulukutekijä, niin indeksi [G:Z(G)] on suurempi tai yhtäsuuri kuin p², ja lisäksi jokaisessa konjugointiluokassa on vähintään p alkiota. Arvioidaan luokkayhtälöä näillä tiedoilla, ja saadaan täsmälleen haluttu tulos.

Etsin tänään (lähinnä huvin vuoksi ja ajankuluksi, kait) aiheeseeni edes etäisesti liittyvää materiaalia, ja löysin sattumalta jonkun saksalaisen tekemän gradun [PDF, 198Kb] ("Diplomarbeit" - teoksen tasosta päätellen se ei ainakaan gradua laajempi ole). Siitä itseasiassa sainkin innoituksen palata juuri tänään tuossa yllä viitattuun tulokseen. Vakuutan kyllä, etten kopioinut sitä Diplomarbeitetista, näin vain yksinkertaisen arvion tuosta ryhmän keskuksen koosta, ja että todistus on lähinnä pyörittelyä. Minun todistus on elegantimpi, tuon gradun tekijä ei suoraan sanoen vaikuta huippuluokan akateemikolta. Ehkä se on vain tuo gradun kauhea ulkonäkö. Onkohan tuollainen tosiaan voinut mennä läpi? Yhdessä suhteessa se on kyllä parempi, kuin minun graduni; Se on valmis, heh. Paitsi jos kyseessä on keskeneräinen, nettiin laitettu julkaisu. Tuossa gradussa on lähdetty tutkimaan ryhmän 3-rewritabilityä (uudelleenkirjoitettavuutta?), ja siinä yleistetään tuo kommutaatiotodennäköisyysfunktio. En tiedä, viitsisinkö itse sitä tehdä. Sattumoisin löysin ja printtasin tänään yliopistolla käydessä sattumoisin sen artikkelin, jossa rewritabilitystä kerrottiin, että sinänsä voisin itsekin ottaa sen esille. Tuon gradun tekijälle ei kuitenkaan heru lisäpisteitä siitä, että osa kyseisen artikkelin sisällöstä on siirretty sinne. Leavittin, Shermanin ja Walkerin alkuperäinen artikkeli alkaa näin:

"What's the probability that two elements in a finite group commute? A formal answer,

Pr_{2}(G) = \frac{|{(x,y) \in G² | xy = yx}|}{|G|²},

begs our next question. How many ordered pairs of elements of a finite group commute?"

Diplomarbeit taasen alkaa näin:

"Wir fragen nach der Wahrscheinlichkeit Pr 2 (G), daß zwei beliebige Elemente in einer endlichen Gruppe G kommutieren. Die formale Antwort,

Pr_{2}(G) = .... (sama kuin yllä),

zieht die nächste Frage nach sich: Wie viele geordnete Paare von Elementen einer endlichen Gruppe kommutieren?"

Minun alunperinkin olemattomat saksantaitoni ovat kyllä puhkiruosteessa, mutta taidan ymmärtää ihan tarpeeksi. Olisi nyt edes yrittänyt. Seuraava esimerkkikin, symmetrisen ryhmän S_3 kommutaatiotaulu on täsmälleen sama, paitsi että diplomarbeitissa on käytetty kummallista merkintää.

No, minun on tietysti turha retostella erinomaisuudellani, ainakaan niin kauan kuin oma graduni on raakile. Mietin, että pitäisiköhän minunkin pyhittää yksi kappale rewriteabilitylle? Ainoa vaan, että tässäkin vedotaan kohtuullisen alussa erääseen karakteeriteorian tulokseen, jota minulla ei todennäköisesti ole mahdollisuutta lähteä todistelemaan. Toisaalta, voisin kysäistä ohjaajalta, että voisiko sen vain esittää ja jättää todistamatta, ja sitten käyttää sitä.

Completely Reducible

2006-10-11T11:01:00.000+03:00

Eilen ei sanottavaa edistystä tapahtunut, lähinnä kirjoitin ylös juttua suorista tuloista uudestaan, ja todistin parit perustavaa laatua olevat tulokset. Luulin jo ratkaisseeni pari merkintää sitten mainitsemani yksinkertaisia ryhmiä koskevan ongelman. Nimittäin, suoria tuloja koskevassa osuudessa määriteltiin, mitä tarkoittaa kun (äärellinen) ryhmä on "completely reducible" (suomennos? täydellisesti supistuva?). Se tarkoittaa sitä, että ryhmä on esitettävissä äärellisten yksinkertaisten ryhmien suorana tulona. Huomautuksena mainittiin, että kaikki äärelliset yksinkertaiset ryhmät ovat completely reducible, ja tästä jotenkin päättelin, että koska A_5 on pienin ei-triviaali, ei-kommutatiivinen äärellinen yksinkertainen ryhmä, niin kertaluvultaan tätä suuremmille ei-kommutatiivisille äärellisille yksinkertaisille ryhmille G voidaan induktiolla osoittaa, että niille Pr(G) <= Pr(A_5), koska niillä on esitys itseään pienempien yksinkertaisten ryhmien suorana tulona. Sitten puolen tunnin päästä tajusin, että yksinkertaiset ryhmät ovat completely reducible, koska ne voidaan esittää itsensä triviaalina suorana tulona. Blaah. Arvoitus on siis edelleen ratkaisematta. Toivon mukaan se on edes ratkeava (hahhah, ryhmäteoreettinen vitsi).

Taas muiden graduista

2006-10-10T16:28:00.000+03:00

Mitään progressiota ei edelliskerran jälkeen ole tapahtunut - onnistuin tarttumaan gradupapereihin ja -kirjoihin eilen vasta noin kello 22.30, ja lopetin puolta tuntia myöhemmin, ja 25 minuuttia meni yhden asian ihmettelyyn, joka ei vieläkään valjennut. Sen sijaan harrastin tänään taas vanhojen gradujen lukemista luentojen alkua odotellessani. Huomasin, että kaikenlaisilla sitä onkin läpi päästy; Yksi ryhmäteoriaa käsitellyt gradu kun oli tasoltaan melko alkeellinen, ja siinä tuhlattiin sivukaupalla sivuja perusasioiden toistoon (johon varmaan melkein kaikki gradut joutuvat enemmän tai vähemmän turvautumaan), ja sitten käsiteltiin symmetrisiä ja alternoivia ryhmiä varsin perustasolla, ja alternoivia ryhmiäkin käsitellyt osuus päättyi suurin piirtein siihen, että todistettiin A_5:n olevan yksinkertainen. Sen jälkeen käsiteltiin vielä vähän lineaarisia ryhmiä, ja se gradu huipentui projektiivisiin lineaarisiin ryhmiin PSL(n,m), ja niitäkään ei hirveästi yli ryhmäteorian kurssin sisällön käsitelty.

Olisinpa lopettanut siihen, sitten käsiini tarttui jokin toinen gradu, joka oli paljon pitempi, ja iski suoraan asiaan, ei mitään lällyjä ja pehmeitä johdatuksia aiheeseen kertaamalla (minun käymien) kurssien asiaa. Se ei kyllä käsitellyt ryhmäteoriaa. Ryhmäteoriasta ei hirveästi tunnu meillä graduja olevan, suurin osa käsittelee joko lukuteoriaa, tai varsinkin analyysiä.

Hiljaa huono tulee

2006-10-09T16:06:00.000+03:00

G-Projekti on nyt edennyt ainakin sen verran, että lauantai-iltana istahdin nojatuoliini, ja kävin läpi muutamia nilpotentteihin ryhmiin ja suoriin tuloihin liittyviä tuloksia - tarkoitus on esittää tulos, että G on nilpotentti jos ja vain jos se voidaan Sylowin p-aliryhmien suorana tulona.

Sunnuntai-illasta kului valehtelematta ainakin 6 tuntia, aina puoli kahteen asti yöllä kun yritin todistaa, että ei-kommutatiivisille, äärellisille yksinkertaisille ryhmille Pr(G) < 1/12, mutta ei tullut mitään paitsi sivukaupalle korkeintaan paperiroskikseen kelpaavaa jätettä. Yritin ensin jotenkin alternoivan ryhmän A_5 kautta päästä tulokseen käsiksi - Pr(A_5) = 1/12, ja A_5 on kertaluvultaan (= 60) pienin ÄEkY-ryhmä (Äärellinen, ei-kommutatiivinen, yksinkertainen), seuraavaksi pienin on kertaluvultaan 168. Mutta ei auttanut. Sitten yritin järkeillä siten, että jos ÄeKY-ryhmän kertaluku kasvaa, niin sen konjugointiluokat voivat kasvaa korkeintaan puolella (itseasiassa 1/5:llä - mikäli oikein järkeilin, niin ÄEkY-ryhmien konjugointiluokkien kertalukujen täytyy olla vähintään 5) jokaista "lisättyä" alkiota kohtaan. Mutta tässähän ei ole mitään järkeä, ellei ota lähtökohdaksi jotain ryhmää, jossa olisi "optimaalisesti" järjestellyt konjugointluokat. Tästä minä en ainakaan kuitenkaan tiedä mitään, mikä takaisin sen.

Loppuillan yritin järkeillä jotain kertaluvun jakajien kanssa - Jos G on ÄEkY-ryhmä, niin sen kertaluku on jaollinen joko 8:lla tai 12:lla (tarkempikin tulos pätee: se on jaollinen joko 12:lla, 16:lla tai 56:lla, mutten tiedä riittävätkö rahkeeni, tai edes tarpeeni, sen todistamiseen), ja siis 4 jakaa joka ainoan ÄEkY-ryhmän kertaluvun. Tästäkään ei kuitenkaan oikein irronnut mitään, ja lopulta kello alkoi olemaan niin paljon, että oli mentävä nukkumaan.

Tänä aamuna tapasin graduohjaajan, kun yksi kevään graduryhmäläinen piti esitelmän jatko-opintoihin liittyvästä aiheesta. Hän oli saanut gradustaan E:n; Siitä saattaa ollakin jo ylpeä.

Ihme ja kumma

2006-09-19T21:11:00.000+03:00

Tänään tartuin graduun pitkästä, pitkästä aikaa, ja tartuin härkäpäisenä edelleen todistamattomana lojuvaan Gallagherin hämärästi todistamaan tulokseen ryhmän ja sen jonkin tekijäryhmän luokkalukujen suhteisiin liittyen. Edelleenkään en sitä ihan loppuun asti saanut todistettua, vaikka ainakin 5 tuntia meditoin papereiden edessä. Huomasin, että voin helpottaa tehtävää unohtamalla oudot merkinnät ja sivuuttamalla itseasiassa minun kannalta suhteellisen triviaalin osan tulosta (siis sitä, milloin yhtäsuuruus on voimassa. Tosin tuskinpa sekään vaikea olisi osoittaa jos laskut muuten toimivat, mutta merkinnät ovat vain jotenkin outoja).

Tänään oli jo aamusta hieman sellainen olo, että pitäisi tarttua toimeen taas, mutta ahdistuin hieman, kun huomasin että graduseminaarissa mukana ollut tyyppi - se paras meistä, joka kaikista itsestäänselvimmin ryhtyisi jatko-opiskelijaksi - pitää lokakuun alussa seminaariesitelmän, jonka aihe hieman vihjaisikin siihen suuntaan, että hän on jo jatko-opiskelija. Olen niin huono. Mutta ainakin sain valettua itseäni sellaista raivoa, että näytän taas kaikille, kuka määrää. Ei sillä, että tämän pitäisi mitään kilpailua olla. Kunhan ammatillista itsetuntoani paikkailen.

Alkaneesta syksystä voisin todeta sen verran, että aikaa pitäisi gradullekin riittää. Minulla on vain muutama kurssi, ja vain yksi on sellainen, joka vaatii enemmän paneutumista (syventävä matematiikan kurssi Sobolevin avaruuksista - vaikka minulla olisikin asennevamma analyysiä kohtaan, niin tämän vuoden puolella käydyt analyysin syventävät kurssit ovat saaneet mnut näkemään sen aihepiirin hieman paremmassa valossa, vaikka hädin tuskin pääsin kevään kurssin läpi). Loput kurssit menevät varmaankin kädet selän taakse sidottuina, ja harjoitusaine on lähestulkoon valmis (sitä kohtaan minulla ei ole mitään erityistä kunnianhimoa, kunhan nyt saisin vain viimeisteltyä sen. Jotenkin sen LaTeX-koodin katselukin on vaan niin masentavaa, eikä mistään kohdasta tahdo saada kiinni niin, että loppuviilauksia edes jaksaisi tehdä).

Niagra auttaa nilpotenssiin

2006-07-23T17:12:00.000+03:00

Hyvin vähän olen saanut viime aikoina aikaan, mutta tänään tuli taas vietyä gradua hieman eteenpäin, kun kirjoittelin ylös perusasiat nilpotenteista ryhmistä jättäen todistukset pois (voi olla, että ne jäävät kokonaan pois, ne kun eivät ole oleellisia työni kannalta). Lisäksi todistin tässä taannoin (tällä tai viime viikolla, en muista enää!), että jos Pr(G) = 5/8, niin G on nilpotentti ryhmä. Tämän kirjoitin myös puhtaaksi. Kyseisen todistuksen keksin vieläpä itse, vaikka helppohan se oli, kun ymmärtää tutkia ylempiä keskeisiä sarjoja ja muistaa aiemman tuloksen, että jos Pr(G) = 5/8, niin [G:Z(G)] = 4. Sitten kun muistaa, että ryhmät, joiden kertaluku on p² (missä p on alkuluku) ovat abelin ryhmiä, niin saadaan helposti irti haluttu tulos -- itseasiassa saadaan myös irti, että jos Pr(G) = 5/8, niin G on luokkaa 2 oleva nilpotentti ryhmä. Näin siis jos en ole tehnyt virhettä ja/tai ymmärtänyt jotain väärin. Minulla ei tunnu juurikaan olevan ammatillista itseluottamusta.

EpäNytkähdys

2006-07-09T09:10:00.000+03:00

Paitsi että. Ei se vieläkään ole selvä. Unohtakaapa tässä ollut merkintä, häpeän sitä jo nyt. Tyydyn vain toteamaan, että raivasin itselleni keittiön pöydälle työskentelytilan, jossa oikeasti voi tehdä jotain, vaikka keittiöpöydän tuolit eivät olekaan siitä mukavammasta päästä.

22. merkintä

2006-06-27T14:18:00.000+03:00

Jos ei muuta, niin ainakin vietin tänään muutaman tunnin yliopiston kirjasto Telluksessa. Kovin paljoa en materiaalia saanut kirjoitetuksi, mutta selvitin "intuitiivisesti" itselleni, mikä on kahden ryhmän suoran tulon luokkaluku. Mikäli en tehnyt ajatusvirheitä, niin asia on suorastaan itsestäänselvä. Lisäksi kävin etsimässä käsiini sen artikkelin, mistä koko keskustelu on lähtenyt liikkeelle, mutta en usko, että käytän siinä esitettyjä asioita missään - itseasiassa minua koskeva osuus oli hyvin lyhyt - paitsi pidentääkseni viiteluetteloani ja tehdäkseni lähinnä historiallisen huomion. Kyseinen artikkeli oli Erdösin ja Turanin vuonna 1968 julkaistu tilastollisen ryhmäteorian artikkelisarjan neljäs osa, mikäli nyt oikein ymmärsin ja muistan. Loppualkuiltapäivän raaputtelin päätäni ja listasin yksinkertaisia ryhmiä koskevia tuloksia, joista saattaisi olla tai olla olematta hyötyä.

Joka tapauksessa, olen ainakin _jotain_ saanut tänään aikaan. Jos vielä saisin kirjoitettuakin LaTeX-muotoon jotain, niin voisin olla ehkä jopa tyytyväinen itseeni.

21. merkintä

2006-06-19T11:41:00.000+03:00

Luvattoman olematonta on taas ollut G:n edistyminen viime aikoina, johtuen osin pienestä viikonloppumatkasta ja sitä seuranneesta, nyt pian viikon jatkuneesta kesäflunssasta. Viime viikolla olin sen verran aktiivinen, että kävin Lunasta etsimässä yhden todistuksen liittyen konjugointiluokkien lukumäärän alarajaan, mutta aktiivisuuteni päättyi lehtihyllylle, jossa sain kyllä lehden käsiini, mutten jaksanut (!) käydä kopioimassa sitä. Tänään oli uusi yritys, ja lähdinkin yliopistolta muutama käytetty kopiopaperi kourassani. Samalla tein sen virheen (?), että selailin taas muita matematiikan graduja. Sillä on aina sama vaikutus: minuun iskee voimakas alemmuudentunne ja vakuutun siitä, ettei minulla millään voi olla näin paljoa asiaa kirjoitettavaksi. Syy, miksi toistin tämän ikiaikaisen virheeni oli se, että eilen sain taas kirjoitettua hieman. Lähinnä uudestaan joitain vanhoja osia, jonka lisäksi vaivauduin laatimaan jonkinlaisen rungon (jossa intouduin keksimään luvuille työnimiä, mutta luulen ettei mikään "Velhon Torni" tai "Muinaiset Kääröt" viiteluettelon tilalla tule lopulliseen työhön). Ongelma on taas se, etten tiedä, millaista suomea minun pitäisi kirjoittaa. Jos kirjoitan siten, kuin kirjoitan esimerkiksi blogimerkintöjä, niin tekstistä tulee liian hersyvää, tarinamaista ja jopa humoristista. Näin ollen ajattelin sitten katsoa, taas kerran, miten muut ovat kirjoittaneet. Selasin erään henkilön, jonka satun tietämään nimeltä, ryhmäteoriaan liittyvää suhteellisen tuoretta gradua. Ei siitä tainnut apua olla - olisi pitänyt ehkä oikeasti lukea sitä eikä selata käytävällä - mutta jotenkin ehkä vakuutuin siitä, että antaisin mennä tunteella ja karsisin vain kaikki vitsit pois, ellei niitä pysty piilottamaan. Muutenkin on todella hölmöä tässä vaiheessa jumittua kieleen, sitä kun voi jälkikäteenkin hioa. En vain mahda sille mitään, että jään miettimään, onko parempi "ristiä" vai "nimetä". Jälkimmäinen lienee korrektimpi, mutta on se hieman tylsempikin, tavallaan.

Parit löydöt ja kirjoitusvaikeuksia

2006-05-31T14:40:00.000+03:00

Löysin pari uutta (siis minulle uutta) artikkelia luettavaksi, ja hyvin mahdollisesti käytettäväksi työssäni. Täytyy huomenna aamusella kipaista yliopistolla tulostamassa ne. Eilen siirryin vaihteeksi kirjoittelemaan LaTeX-koodia, ja päätin kirjoittaa uudestaan ryhmien kommutatiivisuutta käsittelevän luvun alun. Minulla on kuitenkin rima noussut vaivihkaa vielä korkeammalle: Mietin eilen pitkän aikaa, miten aloittaisin kappaleen, ja ainakin tunnin pähkäiltyäni pelkkää aloitusta kirjoitin palan matkaa. Sitten pysähdyin, kun en keksinyt miten ujuttaisin alkeellisimman version kommutatiivisuusfunktion määritelmästä tekstin sekaan. Tänään aamupäivällä kun avasin editorini, tunsin suurta tyytymättömyyttä eilisiin aikaansaannoksiini, ja kommentoin pois kaiken. Nyt olen tunnin miettinyt, miten aloittaisin sen kappaleen. Jotenkin pitäisi keksiä hyvä ja johdonmukainen johdatus kysymykseen siitä, miten ei-kommutatiivisen ryhmän kommutatiivisuutta voitaisiin mitata. Kaikki, mitä olen keksinyt, on kuulostanut joko liian kankealta, liian rautalangastaväännetyltä tai liian lapselliselta. Hetki sitten minulla oli mielessä hyvä aloitus, mutta unohdin sen parissa sekunnissa, ja kun aloin kirjoittamaan siitä, en muistanut muuta kuin aiemmat typerät aloitukseni. Jatkan pähkäilyä.

Lisäys hetkeä myöhemmin: Eikä riitä, että on yhtäkkiä vaikea keksiä tapaa, jolla selostaa asiaa, mutta kun en tiedä, kuinka rohkeasti uskallan käyttää tavallisia suomen kielen sanoja. Esimerkiksi yksi aloitus, jonka keksin, menee näin: "Kommutatiivisten ryhmien joukko on sikäli yhtenäisempi kuin ...". Mikä tuossa häiritsee? Siinä käytetään sanoja 'joukko' ja 'yhtenäinen', jotka ovat molemmat vakiintuneita suomenkielisiä nimityksiä termeille 'set' ja 'connected'! Eihän niitä juuri tässä ryhmäteorian haarassa juurikaan käytetä (yhtenäisistä avaruuksista puhuttiin topologian kurssilla), mutta omaan silmääni ne pistävät. Turhaanko?

Suorat sävelet

2006-05-29T21:31:00.000+03:00

Oho ja kas kummaa, sain tänään suljettua tietokoneen alkuiltapäivästä, ja muutaman mutkan jälkeen sain tartuttua gradukirjoihin, ja kirjoittelinkin paperille pienen osuuden ulkoisista ja sisäisistä suorista tuloista, joista saattaisi olla hyötyä - ainakin siltä osin, että yksi esitetty tulos liittyi suoraan suoriin tuloihin: Pr(H x G) = Pr(H) * Pr(G). Tosiasiassa en tiedä, mitä kaikkea asiaan liittyviä tuloksia tarvitsen, mutta mitäpä tuosta. Meillä ei koskaan kursseilla käsitelty koko asiaa, joten tuleepa opeteltua nyt tämäkin asia jotenkin.

Hiljaista on kovasti

2006-05-19T10:39:00.000+03:00

Taas on ollut hiljaista tämän blogin suhteen. Se johtuu kyllä siitä, että gradunkin suhteen on ollut hiljaista, en ole nyt sitten toukokuun alun koskenutkaan siihen. Ensi tiistaina on kuitenkin kevään viimeinen tentti, ja sitten voin paneutua harjoitusaineen lisäksi G-pisteeseen.

Tosiaan, neuvottelin itselleni myös harjoitusaineen kesän aikana tehtäväksi. Kuten suositeltua, se käsittelee jotain aivan muuta kuin ryhmäteoriaa, nimittäin Sturm-Liouvillen ominaisprobleemaa. Differentiaaliyhtälöt ovat vainonneet minua fuksivuodesta lähtien, ja vasta tänä vuonna sain jonkinlaisen otteen niistä, ja tämän harjoitusaineen ja kesällä olevan DY2 -kurssin tentin myötä voittoni niistä on oleva lopullinen.

Hieman minua pelottaa kuitenkin tämä inaktiivisuus gradun suhteen. Pelkään, että asiat ovat unohtuneet, kun viimeinkin saan tartuttua taas aiheeseen. Ensi viikolla saanemme tietää.

Pienin askelin edelleen

2006-05-03T08:59:00.000+03:00

Eilisen myötä graduryhmä on loppu, kun viimeisetkin esitelmät pidettiin. Nyt ei ole enää mitään paineita pitää tahtia yllä, mutta uskon edelleen gradun tästä etenevän. Eilen se eteni taas, kun vihdoin ja viimein menin ohjaajalle esittelemään paria ongelmakohtaa. Lopputuloksena istuin yli tunnin ohjaajan kanssa miettiessä erään journaalitekstin kirjoittajan aivotuksia, ja ongelma jäi edelleenkin avoimeksi. Eräs toinen tulos saatiin kyllä selvitetyksi, joskin nyt minua hävettää, etten keksinyt itse yhtä todistusta, ja nyt tunnen itseni kehnoksi minusta-tulee-isona-matemaatikoksi. Jahka tuleva (ei kovin pitkä) tenttiputki on ohitse, pitääkin korjata tuo tunne.

Esitelmä takana

2006-04-25T17:55:00.000+03:00

Tulipa pidettyä tänään (pienen) luokan edessä se esitelmä graduni aiheesta. Arvelin sen kestoksi 15 minuuttia, tai ehkä jos olisin oikein pitkittänyt kerrontaa ja jaaritellut helveteistä taivaisiin, niin 20 minuuttia. Yllättäen meni arviolta yli 40 minuuttia, ellei jopa 50. En tajua, kuinka se on mahdollista. Tietenkin on mahdollista, että ajantajuni on jotenkin pettänyt, mutta en usko sitäkään. Niin tai näin, niin ohi on, eikä tarvitse ottaa ainakaan siitä asiasta paineita, ja ensi viikolla voi ottaa mukavan asennon, kun viimeiset kaksi tyyppiä kertovat vappukrapuloissaan omista gradunaiheistaan.

Muutama yö esitelmään

2006-04-23T00:03:00.000+03:00

Pian se koittaa. Jos en muuta ole (vielä) tänä viikonloppuna saanut aikaan, niin laadin jonkinlaisen rungon esitelmälleni. Täällä voi halukkaat käydä lukaisemassa. Se on varsin vapaamuotoinen, ja on sanomattakin selvää, etteivät asiat siirry tuollaisenaan itse graduun. Toivon mukaan ennen maanantaita, jolloin ajattelin käydä tehtailemassa näistä kalvot, esitelmän sisältö muuttuu vielä. Täytyy vielä katsella sitä p-ryhmiin liittyvää tulosta -- huomasin, ettei laatimani todistus ollut sittenkään vakuuttava, joten joudun miettimään vielä uudemman kerran. Esitelmässä mainitaan myös kahden ryhmän suoraan tuloon liittyvä lause, veikkaisin että se on helppo todistaa. Myös se hirviömäinen Pr(G) \leq Pr(G/N)Pr(N) on helppo, jos vain ymmärtäisin konjugointiluokkaan liittyvän todistuksen (notaatio on muuttunut vuosikymmenten aikana). Huominen aikaa, tosin pitäisi tehdä kaikkea muutakin.

Esitelmä siintää horisontissa

2006-04-20T16:04:00.000+03:00

Jotta ei kirjoittelutauko pääsisi taas venähtämään liian pitkäksi, niin todettakoon, että eteneminen on edelleenkin ollut verkkaista. Pääsiäisen aikana aloin kyllä jo suunnittelemaan ensi tiistain esitelmääni, jonka aion aloittaa esittelemällä dihedraalista tyyppiä ja kertalukua 8 olevan ryhmän ryhmätaulua, siis oleellisesti D_8:n ryhmätaulua. Meillä ei koskaan ole luennoilla puhuttu dihedraalisista ryhmistä, mutta algebra II:ssä oli kyllä puhetta neliön rotaatioista ja peilauksista permutaatioryhmien sovellutuksista puhuttaessa. Oleellisesti tässä on kyse juuri siitä. En ihan tosiaan viitsi ottaa suoraan artikkelista S_3:n ryhmätaulua. D_8 (tai D_4 joidenkin merkintätapojen mukaan) on joka tapauksessa kiinnostavampi, sillä R(D_8)= 5/8, eli juurikin se ei-kommutatiivisille ryhmille (ja renkaille ja kompakteille ryhmille) helposti johdettava R(G):n yläraja. En tiedä, tuleeko esitelmästäni tarpeeksi pitkä, mutta varmaan jos tarpeeksi hitaasti ja juurtajaksaen sepustan R(G)-funktiosta ja muutamista tuloksista, niin eiköhän siinä sellaiset 15-20 minuuttia ainakin mene.

Toinen etenemisaskel oli eilen, kun kerkesin ruhtinaalliset 15 minuuttia syventymään graduuni. Minua hämää todistuksetta jäänyt MacHalen artikkelissa esiintynyt väite:

"If G is non-commutative and p is the least prime number which divides |G|, then R(G) \leq (p^2 + p - 1)/p^3. Moreover, equality holds if and only if G/Z(G) has order p^2"

Olen jo aikaa sitten saanut todistettua, että jos G on p-ryhmä, eli |G| = p^n, missä n on suurempi tai yhtäsuuri kuin 3, niin väite on tosi. Tässä p-ryhmä muodossa väite esiintyi myös Gustafsonin artikkelissa. Eilen tein sitten pienen läpimurron, kun muistelin ryhmäteorian kurssilla käsiteltyjä Sylowin lauseita. Olen aiemmin todistanut, että jos H on G:n aliryhmä, niin R(G) \leq R(H). Sylowin lauseiden perusteella ryhmällä on aina vähintään yksi Sylowin p-aliryhmä, jos p on tekijänä G:n kertaluvussa. Tällöin jos

|G| = p^n * m, missä p ei jaa m:ää, ja n on vähintään 3, niin ylläoleva epäyhtälö pitää paikkansa. Nyt minua vain häiritsee tuo n:ää koskeva ehto - kuuluuko se implisiittisesti ei-kommutatiivisen ryhmän luonteeseen, vai pääsenkö siitä eroon jollain muulla tavalla.

Lisäys 22.19: Paitsi että tulin miettineeksi, että yllä esittämäni oivallus pätee vain ja ainoastaan silloin, kun kyseinen Sylowin p-aliryhmä ei ole kommutatiivinen. Takaako mikään sitä?

Ja edelleen, en ole pystynyt ratkaisemaan tuota "equality holds iff..."-kohtaa. Täytyy tosissaan harkita ohjaajan juttusilla pistäytymistä, jotenkin vain häpeän "luovuttamista", vaikka olenkin jo yhteen askarruttaneeseen ongelmaan saanut vinkkiä silloin joskus aiemmin, hyvällä menestyksellä vieläpä.

Jotain raporttia tähänkin väliin

2006-04-12T21:12:00.000+03:00

Liian kauan on kulunut siitä, kun olen tänne viimeksi jotain kirjoitellut. Paikataan nyt se asia. Toisaalta ei ole paljoa kerrottavaa, gradu ei ole kovin mainittavasti edistynyt. Aloin "puhtaaksikirjoittamaan" tietokoneella teostani, mutta jotenkin sekin on vaikeaa, kun alkaa miettimään, mitä kaikkea pitäisi "perusosassa" kertoa - konjugointiluokista ainakin, mutta pitäisikö minun esitellä ensin mitä ne ovat? Ne ovat tuttua asiaa kyllä kursseilta, mutta ne ovat kuitenkin olennainen osa työtäni ja pitää ne ainakin pintapuolisesti esitellä. Mutta entäpä ne vaikeammat tulokset, pitäisikö niistä kirjoittaa erikseen myöhemmin, vai luetella alussa...

Tämän pähkäilyn lisäksi olen yrittänyt keksiä jonkinlaista "johdattelevaa lähestymistapaa" siihen "kommutatiivisuusfunktioon", mutta en millään kehtaisi käyttää symmetristä ryhmää S_3 siihen, kun MacHalen artikkelissa on käytetty sitä. Dihedraalinen ryhmä D_2*4 olisi hyvä, mutta meillä ei olla koskaan kursseilla käsitelty niitä, joten jos ottaisin sen esimerkiksi, niin pitäisikö minun sitten erikseen sepustaa dihedraalisista ryhmistä, vai voisinko vain suoraan heittää ryhmätaulun ihmeteltäväksi, josta lähettäisiin tutkimaan asiaa. Sivuseikkoja ehkä, mutta jotenkin vain takerrun niihin.

Vajaan kahden viikon päästä on minun vuoroni pitää esitelmä. Jännittävää.

Tyhmät luennot pilaavat kaiken, kun kerrankin pääsee vauhtiin

2006-03-22T20:34:00.000+02:00

Tänään taas tartuin härkää toisesta sarvesta. Typerät iltapäiväluennot pilasivat syventymiseni, sillä pääsin taas jonkin verran eteenpäin. MacHalen ryhmiä käsittelevästi artikkelista on aiemmin kaikki todistetut teoreemat käyty läpi, ja tänään laskettelin läpi sen alkupuolella esiteltyt perustulokset, jotka olivat jo toki viime syksyn luennoilta tuttuja. Sen lisäksi ehdin jo syventyä artikkelissa esitetyistä todistuksettomista tuloksista ensimmäiseen, ja onnistuin itse säveltämään puolet todistuksesta. MacHale väitti, että kommutatiivisuusfunktio (katso pari ensimmäistä merkintää tästä blogista) R(G) saa arvon 5/8 jos ja vain jos tekijäryhmä G / Z(G) kertaluku on tasan 4. Toiseen suuntaan asia oli helppo: Oletetaan, että | G / Z(G) | on suurempi tai yhtä suuri kuin 5. Tällöin saadaan R(G):lle yläraja (joka yleisesti on ei-kommutatiivisille ryhmille, ja itseasiassa myös renkaille, se 5/8), joka vain murto-osia pienempi kuin 5/8. Tällöin jos R(G) = 5/8, niin on oltava |G/Z(G)| = 4 (jos |G/Z(G)| = 1, niin G on Abelin ryhmä ja tällöin R(G) = 1, lisäksi ko. tekijäryhmän kertaluku ei voi olla missään tapauksessa alkuluku, eli kertaluvut 2 ja 3 voidaan myös pyyhkiä yli. Itseasiassa se ei voi olla viisikään, joten periaatteessa todistuksessani voisin ottaa alarajaksi kuuden, kuten alunperin otinkin, mutta siitä en parissa minuutissa onnistunut vakuuttamaan itseäni ilman laskinta, että saatu yläraja olisi ollut pienempi kuin 5/8). Toiseen suuntaan en väitettä saanut (vielä) todistettua, eli että jos R(G) = 5/8, niin on välttämättä oltava |G/Z(G)| = 4.

(Tuo Z(G) tarkoittaa ryhmän keskusta, eli se on niiden ryhmän G alkioiden joukko, jotka kommutoivat kaikkien G:n alkioiden kanssa).

Jotenkin vasta nyt tämän gradun kanssa leikkiessä on alkanut sisäistämään jotenkin tekijäryhmän käsitteen. Silloin, kun se algebra I -kurssilla keväällä 2003 opetettiin, niin se oli varmaankin kurssin ainoa asia, joka ei minulla painunut mieleen. Algebra II -kurssilla syksyllä 2004 se ei muistaakseni esiintynyt kovin usein, enkä silloinkaan oppinut sitä. Ryhmäteorian kurssilla syksyllä 2005 sitä tarvittiin usein, mutta en oikein tiedä tajusinko edes silloin, mitä se oikeasti tarkoittaa. Ryhmän sivuluokkien muodostama ryhmä. Ei sen pitäisi olla niin vaikeaa, mutta kun se on. Kaitpa se johtuu siitä, ettei se ole niin "konkreettinen" kuin jokin kiva ja helposti käsiteltävä joukko lukuja, joille on määritelty joku laskutoimitus.

Tämän kerran graduryhmästä ja vähän muustakin

2006-03-14T19:14:00.000+02:00

Graduryhmä oli tänään. Minusta tuntui taas etukäteen, että olin tehnyt liian vähän töitä. En tiedä, oliko asianlaita niin, ei muillakaan ollut esittää muuta kuin halpoja sanoja vakuudeksi tehdystä työstä. Kuitenkin tässä pitäisi tehdä kovasti töitä, huhtikuussa kun pitäisi pitää esitelmäkin omasta aiheesta. Olin käynyt täksi kerraksi kyllä jo käytännössä sen minun pääartikkelissani esitetyt todistukset (sehän sisältää paljon myös todistamatonta materiaalia, johon pitäisi paneutua), joskin yksi käytetty aputulos oli jäänyt epäselväksi. Olen erittäin tyytyväinen ohjaajavalintaani, sillä kokoontumisen jälkeen menimme hänen toimistoonsa miettimään yhtä kohtaa. Se ei ollut kovinkaan hankala kohta loppujen lopuksi, mutta minua ilahdutti huomata, että edes professorismiehille ei kaikki asiat olekaan niin itsestäänselviä, vaan siinä meni joku 10-15 minuuttia mietiskellessä, ja lopulta saimme (hän sai) halutun tuloksen irti.

Hieman gradua sivuten iltapäivällä oli matemaattisten tieteiden laitoksen jatko-opintoiltapäivä. Sinne saapui henkilökunnan ja jatko-opiskelijoiden lisäksi viitisentoista (?) perustutkinto-opiskelijaa, paljon sellaisia joiden arvelinkin olevan kiinnostuneita jatko-opinnoista. Minä heidän mukanaan. Kaksi tuntia siellä kului, saimme kahvia ja leipiä. Olen entistä vakuuttuneempi, että haluan jatko-opiskelijaksi tekemään väitöskirjaa, ja mitä todennäköisimmin lisensiaatintyötä siinä sivussa. Yllätyin, kun sain tietää, että meillä jatko-opiskelijaksi pääsee kuka tahansa FM-tutkinnon suorittanut (minusta (vanhentunut) opinto-oppaani väittää toista), mutta että jos haluaa hoitaa rahoituksen vaikkapa ryhtymällä assistentiksi, niin pitää olla hyvää opintomenestystä takana. Oikeastaan tuo rahoituspuoli onkin ainoa, joka koko jutussa arvelluttaa, mutta periaatteessa senkään ei pitäisi olla ongelma (tai sen ei saa antaa olla ongelma). Oloni oli jotenkin tärkeä, kun tilaisuuden lopuksi esiteltiin lyhyesti laitoksen tutkimustyötä, ja vaikka ryhmäteoriasta ei kai mitään erityistä ryhmää olekaan olemassa, niin paikalla ollut graduryhmänohjaajamme mainitsi meidät (kaikki nimeltä). Olen tietysti turhamainen, ja pelkkä gradunväsääjä. Mutta ajattelin, kuinka hienoa olisi olla osana tutkimusryhmää, tutkimusyhteisöä. Ja kuinka hienoa olisi olla tutkija.

Epäuskoa

2006-03-09T11:29:00.000+02:00

Kävin tänään ennen Aularavintolan palvelun alkamista Lunassa vaihteeksi selailemassa matemaattisten tieteiden Pro Graduja (ja lisensiaatintöitä). Hieman masensi: kuinka ikinä saan sävellettyä ~50 sivua tiukkaa asiaa! Jotenkin tuntuu, että minulla on liian helppo, tai suppea, aihe, vaikka en tietenkään tässä vaiheessa tiedä, paljonko sivuja tulee kulumaan (ja kuinka syvällisiä tuloksia loppujen lopuksi tarvitsen ja tulen esittämään). Katsoin erään meidän laitoksen jatko-opiskelijan gradua vuodelta 2000, se oli melkein 100 sivua pitkä. Eikä se vielä riitä: muiden gradut tuntuivat olevan täynnä uutta asiaa, kun minulla parhaimmillaankin melkoinen osa kuluu ryhmäteorian perusteiden luettelemiseen ja yksittäisten ryhmien käsittelyyn. Aika tosissani saisin paiskia yötäpäivää töitä, jotta saisin (minulle) kelvollisen gradun puserrettua ennen kuin lehdet seuraavan kerran putoavat kellastuneina puista.

Lehteä metsästämässä

2006-03-07T18:33:00.000+02:00

Vauhdikkaan gradunaloituksen jälkeen on taas ollut hiljaista. Kovinkaan montaa tikkua en ole laittanut ristiin, kunnes tänään hyökkäsin tiedekirjasto Lunaan etsimään erään matemaattisen aikakausilehden numeroa vuodelta 1970, jossa oli konjugointiluokkia äärellisissä ryhmissä käsittelevä artikkeli, johon on viitattu mm. tuossa graduni ydinartikkelissa (MacHale) ja muutamassa muussakin. En tiedä, onko tuostakaan hyötyä, sillä suurin osa esitetystä asiasta perustuu character theoryyn (karakteeriteoria?), johon uskon, ettei minun ole tarkoituksenmukaista perehtyä tarkemmin - tai vaikka olisikin, niin mainitsen asiasta ensin ohjaajalle viikon päästä.

Lunan kopiokone ei muuten toiminut. Uhrasin siihen 50 senttiä, eikä se loppujen lopuksi edes antanut rahojani takaisin. Telluksessa oltiin kylläkin ymmärtäväisiä, ja sain kopioda sivut ilmaiseksi toimivalla kopiokoneella.

Mutta siinä kaikki. Rosen kirjaa olen lueskellut hieman, mutta en varsinaisesti syventynyt siihen. Vannon, että viikon päästä olen käynyt MacHalen artikkelin loppuun, ja voisinpa katsoa hieman, miten konjugointiluokat toimivat symmetrisissä ryhmissä.

Tulin muuten tänään eräiden luentojen päätteeksi kysäistyä luennoitsijalta erästä asiaa, joka johti siihen, että hän alkoi ehdottelemaan minulle, että tekisin graduni differentiaaliyhtälöistä ja analyysistä. Kerroin tekeväni jo gradua ryhmäteoriasta, mutta hän ei luovuttanut. Jos en tykkääkään ryhmäteoriasta, niin voin kuulemma ottaa häneen yhteyttä. Heh.

Nothing to report

2006-02-28T11:12:00.000+02:00

Viime päivinä en ole juurikaan tehnyt mitään gradun eteen, paitsi lueskellut tuota Rosen kirjaa. Lisäksi sunnuntaiaamuna väänsin huvin vuoksi LaTeXilla jo tulevan dokumentin rungon, ja tuumailin hieman kappalejakoa. Ohjaaja ehdotti viimetapaamisessa, että voisin tutkia erikseen yleistä symmetristä ryhmää S_n, niiden konjugointiluokat kun ilmeisesti voi päätellä n:n perusteella. Symmetrisiä ryhmiä käsiteltiin eräällä kurssilla, josta sain nykyasteikoilla 4:n, mutta en muista enää tarkkaan niitä tuloksia. Pitää kuitenkin niitä palautella hieman mieliin.

Odotus palkitaan näillä näkymin

2006-02-22T12:32:00.000+02:00

Hyvä Lord Boredom, 

     Tilaamasi tuote 

     Nimeke: COURSE ON GROUP THEORY
     Tekija: ROSE J S
     Tilauspvm: 31.1.2006
     Kpl: 1

     1 kpl  Toimitettu asiakkaalle 22.2.2006



Ystävällisin terveisin
AKATEEMINEN KIRJAKAUPPA, Verkkokauppa

Jo oli aikakin.

Muistutus itselle

2006-02-21T11:35:00.000+02:00

14.3 kokoonnutaan seuraavan kerran.

Eli graduryhmä kokoontui tänään tunniksi (ehdin käydä ruokalassa syömässä, ja tulla sitten koneelle bloggaamaan). Pelkäsin, että olen ollut liian laiska muihin verrattuna - tämä kai graduryhmän tarkoitus onkin: luoda hieman paineita, että tulisi tehtyä edes jotain - mutta pelkoni osoittautui turhaksi. Kuten ohjaajakin minulle (ja meille kaikille) totesi, gradu on nytkähtänyt jo liikkeelle, ja se on tärkeää se. Nyt pitäisi tietysti saada pidettyä jonkinlaista tahtia yllä, mikä ei varmaankaan ole vaikeaa, jos muut opiskeluvelvollisuudet eivät liikaa häiritse touhujani. Onneksi yksi kurssi loppuu pian, toinen pääsiäisen tienoilla, joten niiden tiimoilta liikenee kohtuullisen pian lisää aika gradulle.

Joka tapauksessa ajattelin, että vaikka tutkinkin gradussani ryhmiä, niin voisin analogian vuoksi esittää muutamia vastaavia tuloksia myös renkaille. Ohjaaja piti tätä hyvänä ideana. Lisäksi voisin mainita ohimennen myös äärettömiä kompakteja ryhmiä koskevan tuloksen, eli sen, että kommutatiivisuus-funktiolla on se sama yläraja, 5/8, myös siinä tapauksessa.

Gradu edistynyt epsilonin verran

2006-02-20T19:29:00.000+02:00

Paljoa edistystä ei ole nyt viime aikoina tapahtunut, tosin lauantaina todistelin parit lauseet hiipuvan miniflunssan kourissa. Tänään ajattelin myös loppuillan pyhittää lauseiden todistelulle, sillä huomenna on taas graduryhmän kokoontuminen, enkä ihan tyhjin käsin viitsi mennä. Vaikka eipä sillä, olenhan minä jotain tehnyt viimeisen kahden viikon aikana, mutta en saanut johdettua askeleitani sinne kirjastoon kysyäkseni siitä Keith S. Josephin väitöskirjan hankkimismahdollisuudesta.

Lähdemateriaalia haalimassa

2006-02-16T16:47:00.000+02:00

Jätin tänään suhteellisuusteorian laskuharjoitukset väliin, ja käytin parituntisen yliopiston mikrohallissa, ja etsiskelin JSTOR:sta sopivia artikkeleita, joita voisin hyödyntää gradussani. Paljoa ei löytynyt; Erään Gustafsonin artikkeli, josta taisin saada mukavan konjugointiluokkien lukumäärää koskevalle tulokselle todistuksen, johon jäin jumiin MacHalen alkuperäisen artikkelin kanssa; Sitten löytyi MacHalelta alkuperäistä vastaava artikkeli äärellisille renkaille (renkaita en gradussani sen kummemmin tutki, mutta ajattelin, että vastaavia tuloksia äärellisille renkaille voisi heittää ohimennen esimerkkeinä, analogioina - esimerkiksi "kommutatiivisuusmitan" ylärajaksi osoittautuu se sama 5/8). Kolmannekseen löysin Keith S. Josephin - saman tyypin, jonka väitöskirjan haluaisin myös käsiini, ja josta en ole vieläkään kysynyt kirjastolta, josko minun olisi mahdollista saada käsiini - lyhyen artikkelin, jossa lueteltiin lyhyesti algebrallisten rakenteiden kommutatiivisuuteen liittyviä konjektuureja (joita minun taitaa olla turha yrittää todistaa tällä erää!), ja mikä tärkeämpää, siinä lueteltiin mukava läjä jo tunnettuja tosiseikkoja. Toisinsanoen siinä lueteltiin minun puolesta graduni mahdolliset päätulokset!

Ehkä noissa löytämissäni artikkeleissa on vielä se tärkeä puoli, että niissä viitataan muihin artikkeleihin joita JSTOR:sta ei löytynyt, mutta jotka minun ~~ehkä~~ kannattaisi etsiä.

Pientä edistystä ja aiheen esittelyä

2006-02-13T08:27:00.000+02:00

Eilen laskiessani - yrittäessäni laskea - differentiaaliyhtälökurssin laskuharjoitustehtäviä hihani paloivat relativistisella nopeudella. Hetken hihojenjäähdyttelyn jälkeen päätin viimeinkin alkaa käymään MacHalen artikkelia läpi. Siinä olisi hurahtanut pitkä tovi, ellei TV:stä olisi tullut Salaisia Kansioita; Toisin sanoen artikkelin kanssa kävi juuri niin, kuin minulle kävi aikoinaan seminaarityöni kanssa: siihen oli mukava uppoutua. Hieman hälyttävänä sivuseikkana huomasin, että jouduin miettimään ryhmäteorian perustuloksienkin todistuksia (joita siinä artikkelissa esiteltiin muutama jutun kannalta oleellinen), vaikka minun pitäisi muistaa ja ymmärtää ne ulkomuistista. Loppujen lopuksi jäin jumiin jo ensimmäiseen todistukseen, jossa piti summalausekkeesta saada jotenkin oudosti konjugointiluokkien lukumäärä ulos, enkä millään tajunnut (tai tajua vieläkään), kuinka se onnistuu.

Ehkä selitän hieman tuota tutkimuskohdettani. Tällä hetkellä graduni päämotiivi on tutkia äärellisen, ei-kommutatiivisen ryhmän kommutaatiosuhdetta R(G) (tälle ei ollut annettu mitään nimeä artikkelissa, joten kommutaatiosuhde on itsekeksimäni termi), joka määritellään seuraavasti:

R(G) = (kommutaatioiden määrä G:ssä) / ( |G|² )

Tuo kommutaatioiden määrä G:ssä saadaan havainnollisesti siten, että kun laaditaan ensin ryhmälle ryhmätaulu (Cayley table), ja sitten laaditaan uusi taulu (kutsun sitä kommutaatiotauluksi, sekin on itsekeksimäni termi) siten, että merkitään 1:llä kommutaatiokohtia taulussa, ja muita kohtia 0:lla. Kommutaatiokohdat ovat tietysti niitä, joissa laskemalla ab ja ba, ja jos ne ovat samat, niin kyseessä on kommutaatio. Näin kommutaatiotauluun muodostuu päädiagonaalin suhteen symmetrinen kuvio. 1:sten lukumäärä on tuo haluttu kommutaatioiden määrä ko. ryhmässä.

Kommutaatiotaulusta nähdään myös suoraan jokaisen alkion sentralisoija (ja, itseasiassa, kommutaatioiden lukumäärä saadaan laskemalla myös jokaisen alkion sentralisoijan kertaluku, joka saadaan siis laskemalla ykkösten lukumäärä alkion riviltä), sekä ryhmän G keskus, joka tietysti koostuu niistä G:n alkioista, jotka kommutoivat kaikkien muiden alkioiden kanssa.

MacHalen artikkeliin oli laadittu yksinkertaisen esimerkin vuoksi symmetrisen ryhmän S_3 ryhmä- ja kommutaatiotaulu. Ajattelin, että omaan työhöni voisin laatia vastaavat taulut alternoivalle ryhmälle A_4 (S_4:ssä olisi jo 24 alkiota, voi olla että sitä on jo vaikea saada mahtumaan sivulle. A_4:n 12 alkiota varmaankin mahtuvat).

Eilen pääsin sitten MacHalen ensimmäiseen varsinaiseen lauseeseen asti, joka osoittaa, että kommutaatiosuhteen määrittäminen palautuu yksinkertaisesti konjugointiluokkien lukumäärän määrittämiseen, ts.

R(G) = k(G) / |G|, missä k(G) on G:n konjugointiluokkien määrä.

On minulla onneksi ensi tiistaihin asti aikaa vielä käydä asiaa läpi.

Toinen kokoontuminen

2006-02-07T11:48:00.000+02:00

Tänään kokoonnuimme tosiaankin pienemmällä porukalla - meidät on siis jaettu kahteen ryhmään, ja yksi ryhmä kokoontuu aina joka toinen viikko ja toinen ryhmä niiden välissä joka toinen viikko - ja meille selitettiin hieman gradun rakenteesta. Pitää olla tiivistelmä, johdanto, perustulokset ja päätulokset, sekä lähdeluettelo. Jälkiviisaasti ajatellen sehän on selvää. Meille esiteltiin parin vuoden takaista ryhmäteoriaa ja sen sovelluksia (tässä tapauksessa salausmenetelmiä) käsittelevää gradua. Noin 50-sivuinen, ja olettaisin, että siitä oli lohjennut ihan hyvät arvosanat, kun sitä kerta meille näytettiin.

Sitten jokainen sai raportoida ryhmälle, mitä on saanut aikaan. Hieman laiskoina olimme ehkä olleet, ehkä, joillakin mittareilla mitattuna. Itse julistin, että MacHalen artikkeli oli kuin olikin kiinnostava, ja että teen graduni liittyen ei-kommutatiivisten ryhmien kommutatiivisuuteen. Näin ollen saan käsitellä tarkemmin ainakin konjugointiluokkia ja niiden määrää, ne kun ovat aika tärkeässä osassa kommutatiivisuutta tarkastellessa: MacHalen artikkelissa esiteltiin eräänlainen "kommutatiivisuusmitta", jolle todistetaan tulos, joka antaa sille ylärajan, joka riippuu suoraan konjugointiluokkien lukumäärästä. Samassa graduseminaarissa, tosin toisessa ryhmässä, eräs jamppa tekee gradunsa konjugointiluokkiin liittyen, ja Herra Ohjaaja ehdottikin, että voisimme jossain määrin tehdä yhteistyötä, kun kerta aiheemme ovat ainakin siltä osin päällekkäisiä. Lisäksi joudun leikkimään yksityisetsivää, ja käydä kysäisemässä kirjastossa, josko olisi mahdollista saada käsiin erästä MacHalen artikkelissa viitattua Kalifornian yliopistossa tehtyä väitöskirjaa. Jos se on mahdollista, niin se kuulemma maksaa, mutta siitä täytyy sitten neuvotella ohjaajan kanssa, ja on mahdollista laittaa lainauskulut laitoksen piikkiin. Toisekseen voisin käydä seuraavan parin viikon aikana MacHalen artikkelin läpi kynän ja paperin kanssa ja katsoa, jos Internetistä löytyisi asiaan keskeisesti liittyvää materiaalia.

Ohjaaja lupasi myös lähettää sähköpostia MacHalelle tiedustellakseen, josko aiheesta olisi mielenkiintoisia artikkeleja, joita voisin sitten hyväksikäyttää mitä häikäilemättömimmin. Ehdin jo hieman toivoa, että aiheen tienoilta olisi oikeita kirjojakin, mutta Ohjaajan mukaan aiheeni on aika eksoottinen, ettei välttämättä löydy suoraan mitään. Tietysti ryhmäteorian perusteoksista ja vähän syvemmälle menevistä löytyisi varmasti konjugointiluokkiin liittyvää asiaa, mutta näillä näkymin olen artikkelien ja arkaaisten väitöskirjojen armoilla.

Matka alkaa

2006-02-04T10:59:00.000+02:00

(tarkennuspäivitys klo 12.17)

Niin kauan kuin olen blogeja kirjoitellut, olen odottanut sitä päivää, jolloin voisin blogata gradustani. Viime tiistaina alkoi graduseminaari, jossa minä olen yksi kuudesta osanottajasta. Koska en halua ikävystyttää "tavallisten" blogieni lukijoita, päätin pyhittää Gradulle, tuolle monien opiskelijoiden mielestä pelottavalle mörölle (joka jostain syystä jää usein keskoseksi), oman blogin. Tässä se nyt on.

Siis, viime tiistaina, 31. tammikuuta 2006, prosessi lähti käyntiin kello 10 matemaattisten tieteiden laitoksella eräässä luokkahuoneessa. Graduohjaajamme kävi läpi yleisiä graduntekoon liittyviä asioita, ja keskustelimme hieman esimerkiksi siitä omista aikatauluistamme. Itselläni on suunnitelmana saada gradu kevään aikana hyvään alkuun, jotta voin kesällä saada sen enemmän tai vähemmän valmiiksi. Näin kuulemma joku oli viime kerrallakin tehnyt; Keväällä alkuun, syyskuussa laitosneuvostolla. Minulla onneksi on pelivaraa, sillä olen vasta 4. vuoden opiskelija, eikä minulla ole ollenkaan riittäviä sivuaineopintoja kasassa. Toive olisikin koittaa 5. ja viimeisenä opintotuettuna vuotena kasata niitä, ja olisi hyvä, jos gradu olisi jo poissa päiväjärjestyksestä, ettei sen kanssa tule sitten paniikkia.

Samana tiistaisena iltapäivänä minulla oli neuvottelutuokio graduohjaajan toimistossa. Olin toinen osanottajista, jolla ei ollut vielä mitään ideaa aiheesta. Lopuksi ohjaaja antoi minulle monistetun artikkelin ja lainasi John S. Rosen kirjan 'A course on Group Theory', josta voisin katsoa myös ideoita aiheeseen, joka pitäisi ensi tiistaihin mennessä olla enemmän tai vähemmän selvä (itseasiassa tilasin itselleni Akateemisesta Kirjakaupasta uudemman painoksen 14 eurolla - oma henkilökohtainen tiedekirjastoni karttuu!). Myöhemmin samana päivänä koin valaistuksen tutkiskellessani hänen antamaansa artikkelia. Sen on kirjoittanut Desmond MacHale lehdessä The Mathematical Gazette, Vol. 58, number 405 (1974), ja artikkelin nimi on 'How commutative can a non-commutative group be?'. Silloin päätin, että graduni tulisi ainakin näin alustavasti käsittelemään ei-kommutatiivisten ryhmien kommutatiivisuutta, ja tuo artikkeli on erittäin hyvä lähtökohta sille. Ongelma on se, että paperissa esitellään tuloksia, joita ei ole todistettu, ja joiden todistukset käsittääkseni (ei, vaan luullakseni; minun tuurillani) löytyisivät lähdeluettelossa mainituista teoksista. Nämä teokset vain suurimmaksi osaksi väitöskirjoja, joita ei taida meidän yliopiston kirjastosta löytyä. Ainoa mahdollisesti löytyvä artikkeli on P.X. Gallagherin 'The Number of Conjugacy Classes in a Finite Group', joka olisi lehdessä, jonka lyhenne on Math. Z. Siitä voi tietysti lähteä liikkeelle. Gradun yksi tavoitehan onkin kai oppia etsimään tietoa. Toisekseen voisi katsoa, mitä kirjastollamme on tarjottavana ryhmäteorian saralta, ehkäpä tästäkin aiheesta on koottu kirjoihin jotain minun kannaltani hyödyllistä. Viimeisenä oljenkortena graduohjaajani sattuu tuntemaan MacHalen, ja lupasi lähettävänsä tälle sähköpostia, jos tartun aiheeseen.

No, ensi tiistaina asioita varmaan selkiytyy lisää. Siihen asti pitää koittaa olla muissa opinnoissa ahkera (varsinkin eräs ohjelmointityö pitäisi aloittaa ja mielellään tehdä kokonaan), jotta olisi mahdollisimman paljon aikaa aloitella tuskien taivalta, jolle lähden kyllä varsin innostunein mielin.